Calcule a integral indefinida.
\int \frac{x}{e^{2 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{e^{2x}}\,dx
Esse problema envolve técnicas de integração e, em particular, vamos usar o método de integração por partes, pois temos um produto de uma função polinomial x e uma função exponencial e^{-2x}.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o integrando de forma mais clara:
\frac{x}{e^{2x}} = x\,e^{-2x}.
Para aplicar integração por partes, escolhemos
u = x, \quad dv = e^{-2x}\,dx.

Passo 3

Calculamos então du e v:
du = dx,
e
v = \int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}\,e^{-2x}.
Usamos a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 4

Aplicando a fórmula, obtemos
\int x\,e^{-2x}\,dx = x\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr) - \int \Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr)\,dx.
Ou seja,
\int x\,e^{-2x}\,dx = -\frac{x}{2}\,e^{-2x} +\frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx.
Calculamos a última integral:
\int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}\,e^{-2x}.
Substituindo,
\int x\,e^{-2x}\,dx = -\frac{x}{2}\,e^{-2x} +\frac{1}{2}\Bigl(-\frac{1}{2}e^{-2x}\Bigr) = -\frac{x}{2}e^{-2x} -\frac{1}{4}e^{-2x}.

Passo 5

Fatorando e^{-2x} temos
\int x\,e^{-2x}\,dx = -\Bigl(\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\Bigr)e^{-2x} = -\frac{2x+1}{4}\,e^{-2x} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-\frac{2x+1}{4}\,e^{-2x} + C

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