Calcule a integral indefinida:
8. \int x \operatorname{cosec} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \csc x^{2}\,dx.
Este problema envolve o método de substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Definimos
u = x^{2},
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du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac12\,du.
Substituindo na integral original, obtemos
\int x \csc x^{2}\,dx = \tfrac12\int \csc u\,du.

Passo 3

Usamos a fórmula conhecida da primitiva de \csc u:
\int \csc u\,du = \ln\bigl|\tan\tfrac{u}{2}\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x com u = x^{2}, concluímos que
\tfrac12\int \csc u\,du = \tfrac12\,\ln\bigl|\tan\tfrac{x^{2}}{2}\bigr| + C.

Resposta

\tfrac12\ln\bigl|\tan\tfrac{x^{2}}{2}\bigr| + C

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