Sabendo que y=\frac{1}{x^{2}+c} é uma família a um parâmetro de soluções da ED de primeira ordem y^{\prime}+2 x y^{2}=0. Encontre a solução para o PVI e indique o maior intervalo I para o qual a solução é definida.
(a) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+2 x y^{2}=0 \\\ y(2)=\frac{1}{3}\end{array}\right.

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem
y'+2xy^{2}=0
e já nos dão a família geral de soluções
y=\frac{1}{x^{2}+c}.
Para resolver o PVI, basta determinar o parâmetro c usando a condição inicial e depois identificar o maior intervalo em que a solução não se torna singular.

Passo 2

Aplicamos a condição inicial y(2)=\tfrac{1}{3} na família
\frac{1}{2^{2}+c}=\frac{1}{3}.
Isto implica
4+c=3 \quad\Longrightarrow\quad c=-1.

Passo 3

Substituindo c=-1 na solução geral, obtemos a solução particular
y(x)=\frac{1}{x^{2}-1}.

Passo 4

O denominador zera-se quando x^{2}-1=0, isto é, em x=\pm1. Como o ponto inicial x=2 fica ao lado de +1, o maior intervalo contendo 2 sem singularidades é
(1,\infty).

Resposta

y(x)=\frac{1}{x^{2}-1} I=(1,\infty)

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