Sabendo que y=\frac{1}{x^{2}+c} é uma família a um parâmetro de soluções da ED de primeira ordem y^{\prime}+2 x y^{2}=0. Encontre a solução para o PVI e indique o maior intervalo I para o qual a solução é definida.
(b) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+2 x y^{2}=0 \\\ y(-2)=\frac{1}{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' + 2xy^2 = 0, \qquad y(-2)=\tfrac12.
Isso é uma EDO de primeira ordem separável. Além disso, já foi apontado que a família geral de soluções é
y = \frac{1}{x^2 + C},
onde C é a constante de integração. Nosso objetivo é usar a condição y(-2)=\tfrac12 para determinar C e, em seguida, indicar o maior intervalo I em que a solução fica bem–definida.

Passo 2

Aplicamos a condição inicial na forma geral
y(-2)=\frac{1}{(-2)^2 + C} = \frac{1}{4 + C}
e igualamos a \tfrac12:
\frac{1}{4 + C} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad 4 + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = -2.

Passo 3

Substituindo C=-2 na família geral, obtemos a solução particular
y(x) = \frac{1}{x^2 - 2}.

Passo 4

Para determinar o maior intervalo I que contém x=-2 e onde a solução é contínua, observamos que o denominador não pode anular-se:
x^2 - 2 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq \pm \sqrt{2}.
A reta real fica dividida em três intervalos: (-\infty,-\sqrt2), (-\sqrt2,\sqrt2) e (\sqrt2,\infty). Como o ponto inicial -2 pertence a (-\infty,-\sqrt2), o maior intervalo de existência é
I = (-\infty,\,-\sqrt2).

Resposta

A solução do PVI é
y(x)=\frac{1}{x^2-2},
definida no maior intervalo
I = (-\infty,\,-\sqrt2).

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