Calcule a integral indefinida integral f(x) d x das seguintes funções
f(t)=2 a t^1 / 2+3 t^2

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de
f(t)=2a,t^1/2+3,t^2
ou seja, calcular
integral f(t),dt=integrall(2a,t^1/2+3,t^2r),dt
O conteúdo aqui é a regra da linearidade da integral e a regra de potência, que diz
integral t^n,dt=t^n+1n+1+C, nneq -1

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos a soma em duas integrais:
integrall(2a,t^1/2+3,t^2r),dt =integral 2a,t^1/2,dt+integral 3,t^2,dt

Passo 3

Para a primeira integral usamos a regra de potência com n=tfrac12:
integral 2a,t^1/2,dt =2aintegral t^1/2,dt =2acdott^3/2tfrac32 =2a1cdot23t^3/2 =4a3,t^3/2

Passo 4

Para a segunda integral usamos a regra de potência com n=2:
integral 3,t^2,dt =3integral t^2,dt =3cdott^33 =t^3

Passo 5

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
integral f(t),dt =4a3,t^3/2+t^3+C

Resposta

4a3,t^3/2+t^3+C

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