Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
integral e^x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral e^x^3 ,dx como uma série infinita. O conteúdo principal é expansão em série de Taylor (ou Maclaurin) e integração termo a termo.

Passo 2

Sabendo que a função exponencial tem expansão de Maclaurin dada por
e^t = sumn=0^infty t^nn!,
podemos fazer t = x^3 para obter
e^x^3 = sumn=0^infty (x^3)^nn! = sumn=0^infty x^3nn!

Passo 3

Agora que temos e^x^3 = sumn=0^infty x^3nn!, podemos integrar termo a termo. Usamos a propriedade de que se f(x)=sum an x^n então
integral f(x) ,dx = sum an x^n+1n+1 + C

Passo 4

Aplicando isso em cada termo da série:
integral e^x^3 ,dx = integral sumn=0^infty x^3nn! ,dx = sumn=0^infty 1n! integral x^3n ,dx
E cada integral integral x^3n ,dx = x^3n+13n+1

Passo 5

Portanto, a integral fica expressa pela série infinita
integral e^x^3 ,dx = sumn=0^infty x^3n+1(3n+1),n! + C

Resposta

integral e^x^3 ,dx = sumn=0^infty x^3n+1(3n+1),n! + C

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