Determine quais das seguintes integrais são divergentes:
integral-1^1 d x(2 x+1)^3

Passo 1

Temos a integral integral-1^1 dx(2x+1)^3. Esse problema envolve integrais impróprias com singularidade interna, então precisamos identificar onde o denominador zera, dividir a integral em dois trechos, achar a primitiva e estudar o comportamento dos limites.

Passo 2

O denominador anula quando 2x+1=0, isto é, em x=-tfrac12, que está dentro do intervalo de integração. Então nossa integral original vira duas integrais impróprias:
integral-1^1 dx(2x+1)^3 = integral-1^-1/2 dx(2x+1)^3 + integral-1/2^1 dx(2x+1)^3

Passo 3

Para encontrar a primitiva, fazemos u=2x+1, du=2,dx, daí
integral (2x+1)^-3 ,dx = tfrac12 integral u^-3 ,du = -14 u^-2 = -14(2x+1)^2

Passo 4

Vamos estudar o limite da primitiva ao aproximar x de -tfrac12. Como 2x+1to 0 e está elevado ao quadrado no denominador, temos
-14(2x+1)^2 longrightarrow -infty tanto para xto -tfrac12^- quanto para xto -tfrac12^+
Isso mostra que cada uma das integrais impropriamente definidas diverge.

Passo 5

Concluímos que a integral original não converge, pois em torno de x=-tfrac12 o valor tende a infinito em ambas as partes.

Resposta

A integral é divergente.

Exercícios relacionados