Determine quais das seguintes integrais são divergentes:
integral-1^1 d x(2 x+1)^2

Passo 1

Temos a integral imprópria
integral-1^1dx(2x+1)^2
O conteúdo aqui é integrais impróprias com singularidades. Vamos verificar se o integrando fica infinito em algum ponto do intervalo.

Passo 2

O denominador 2x+1 zera quando 2x+1=0, ou seja x=-tfrac12, que pertence ao intervalo [-1,1]. Portanto a integral deve ser entendida como a soma das integrais impróprias
integral-1^1dx(2x+1)^2=limato-12^-integral-1^adx(2x+1)^2+limbto-12^+integralb^1dx(2x+1)^2

Passo 3

Para calcular cada parte, precisamos da antiderivada de 1(2x+1)^2. Fazendo a substituição u=2x+1, vem
integraldx(2x+1)^2= rac12integralduu^2=-12u+C=-12(2x+1)+C

Passo 4

Avaliaremos agora o comportamento quando xto-tfrac12. Seja F(x)=-tfrac12(2x+1). Ao aproximar xto-tfrac12^-, o denominador 2x+1to0^- e
F(x)=-12(2x+1)to+infty
Isso significa que pelo menos uma das integrais parciais diverge para +infty, logo a integral imprópria original é divergente.

Resposta

A integral diverge (é divergente).

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