O ponto de interesse do limite é n\to\infty (interpretação padrão quando se escreve \lim com variável n sem outro destino).
Quer-se o valor numérico a que a sequência \left(\dfrac{n+3}{2n}\right)_{n\in\mathbb{N}} converge quando n cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: separar os termos dividindo numerador e denominador por n. Isso facilita ver os termos que tendem a zero. Escrevo:
\frac{n+3}{2n}=\frac{n}{2n}+\frac{3}{2n}.
Passo 3
Simplificando o primeiro termo:
\frac{n}{2n}=\frac{1}{2},
portanto
\frac{n+3}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2n}.
Passo 4
Agora uso a propriedade de limites de soma: se \lim_{n\to\infty}a_n e \lim_{n\to\infty}b_n existem, então \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n. Aqui a_n=\dfrac{1}{2} (constante) e b_n=\dfrac{3}{2n}. Já sei imediatamente que
\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2}.
Preciso então determinar \lim_{n\to\infty}\dfrac{3}{2n}.
Passo 5
Mostro que \dfrac{3}{2n}\to 0 quando n\to\infty. Intuição: n cresce, então \dfrac{1}{n} fica muito pequeno; formalizo com um argumento \varepsilon-N.
Seja \varepsilon>0 dado. Quero escolher N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{3}{2n}-0\right|<\varepsilon.
Como n>0 para n grande, tem-se
\left|\frac{3}{2n}\right|=\frac{3}{2n}.
Basta garantir \dfrac{3}{2n}<\varepsilon, isto é n>\dfrac{3}{2\varepsilon}. Escolho, por exemplo,
N=\left\lceil\frac{3}{2\varepsilon}\right\rceil,
onde \lceil\cdot\rceil é o teto. Para esse N, sempre que n\ge N vale \dfrac{3}{2n}\le\dfrac{3}{2N}<\varepsilon. Assim \lim_{n\to\infty}\dfrac{3}{2n}=0.