Calcule \lim \frac{2 n+1}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência (ou função de n) cujo termo geral é \dfrac{2n+1}{n} e pede calcular o limite. Vou entender que o limite pedido é quando n cresce sem bound, isto é \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n+1}{n}. Informações relevantes:
  • A expressão é racional em n: \dfrac{2n+1}{n}.
  • Quer-se o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão de forma algébrica para ver os termos dominantes. Divido numerador e denominador por n:
\frac{2n+1}{n}=\frac{n\cdot 2 + 1}{n}=2+\frac{1}{n}.
Expliquei o passo: dividir cada termo do numerador por n 2 (pois 2n/n=2) mais 1/n.

Passo 3

Agora pense no comportamento de \dfrac{1}{n} quando n\to\infty. Intuitivamente, à medida que n fica muito grande, \dfrac{1}{n} fica muito pequeno e tende a zero. Em linguagem simples: dividir 1 por um número cada vez maior faz o quociente cair para zero.

Passo 4

Usando a propriedade de limites (o limite da soma é a soma dos limites, quando existem): se \lim_{n\to\infty}2=2 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0, então
\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2+0=2.
Portanto o limite procurado é 2.

Passo 5

Para ficar totalmente formal, apresento uma prova pelo critério \varepsilon- N. Quero mostrar que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n>N,
\left|\frac{2n+1}{n}-2\right|<\varepsilon.
Calculo a diferença:
\left|\frac{2n+1}{n}-2\right|=\left|2+\frac{1}{n}-2\right|=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}.
Se escolher N>\dfrac{1}{\varepsilon}, então para todo n>N vale \dfrac{1}{n}<\varepsilon. Assim, a condição do \varepsilon- N é satisfeita e, portanto, \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n+1}{n}=2.

Resposta

2

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