Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a integral indefinida
. - Usar esse resultado para calcular a integral definida
.
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites da integral definida são
e .
Passo 2
Vamos lembrar uma ideia básica e muito útil: integração é a operação inversa da derivação. Em particular, como a derivada de
é
, uma primitiva (antiderivada) de
é
.
Aqui temos
, ou seja,
de uma função linear
. Para tratar isso de forma sistemática usamos a substituição (u-substituição). Faça:
Então
Substituindo na integral indefinida:
Agora usamos que uma primitiva de
é
. Assim:
Voltando para
(pois
):
Explicando os símbolos:
-
é a constante de integração (todas as primitivas diferem por uma constante). - O fator
apareceu porque a derivada de é ; então para obter exatamente precisamos compensar com .
Passo 3
Breve fórmula útil (para decorar e aplicar rápido na prova):
onde
é constante. No nosso caso
, o que confirma o resultado anterior.
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada. Seja
. Então
Calcule cada termo:
Portanto
Passo 5
Checagem rápida (útil na prova): derivando a primitiva obtida volta-se ao integrando:
confirmando que a primitiva está correta.