Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{sen}(4 x) d x=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sen}(4x)\,dx.
  • Usar esse resultado para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sen}(4x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}(4x).
  • Os limites da integral definida são 0 e \pi/4.

Passo 2

Vamos lembrar uma ideia básica e muito útil: integração é a operação inversa da derivação. Em particular, como a derivada de \cos(t) é -\sin(t), uma primitiva (antiderivada) de \sin(t) é -\cos(t).
Aqui temos \operatorname{sen}(4x), ou seja, \sin de uma função linear 4x. Para tratar isso de forma sistemática usamos a substituição (u-substituição). Faça:
u = 4x.
Então
du = 4\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.
Substituindo na integral indefinida:
\int \operatorname{sen}(4x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(u)\,du.
Agora usamos que uma primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). Assim:
\frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{4}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{4}\cos(u)+C.
Voltando para x (pois u=4x):
\int \operatorname{sen}(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) + C.
Explicando os símbolos:
  • C é a constante de integração (todas as primitivas diferem por uma constante).
  • O fator -\tfrac{1}{4} apareceu porque a derivada de \cos(4x) é -4\sin(4x); então para obter exatamente \sin(4x) precisamos compensar com -\tfrac{1}{4}.

Passo 3

Breve fórmula útil (para decorar e aplicar rápido na prova):
\int \operatorname{sen}(k x)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(k x) + C,
onde k é constante. No nosso caso k=4, o que confirma o resultado anterior.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada. Seja F(x) = -\dfrac{1}{4}\cos(4x). Então
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sen}(4x)\,dx = F\!\left(\frac{\pi}{4}\right) - F(0).
Calcule cada termo:
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{4}\cos\bigl(4\cdot \tfrac{\pi}{4}\bigr) = -\frac{1}{4}\cos(\pi) = -\frac{1}{4}\cdot(-1)=\frac{1}{4},
F(0) = -\frac{1}{4}\cos(0) = -\frac{1}{4}\cdot 1 = -\frac{1}{4}.
Portanto
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sen}(4x)\,dx = \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}.

Passo 5

Checagem rápida (útil na prova): derivando a primitiva obtida volta-se ao integrando:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{4}\cos(4x)\right) = -\frac{1}{4}\cdot(-4)\sin(4x) = \sin(4x),
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \int \operatorname{sen}(4x)\,dx = -\dfrac{1}{4}\cos(4x) + C
\displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sen}(4x)\,dx = \dfrac{1}{2}

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