Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida
a) \int_{0}^{2} x \sqrt{1+2 x^{2}} d x=
b)
\int_{-1 / 3}^{1 / 3} \frac{1}{1+9 x^{2}} d x=
c)
\int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} d x=
d)
\int_{0}^{1 / 4} \frac{8 x}{\sqrt{1-4 x^{2}}} d x=

Passo 1

O problema pede calcular a integral indefinida de cada integrando e, em seguida, usar essa primitiva para calcular a integral definida nos intervalos dados. As quatro integrais são:
a) \displaystyle \int_{0}^{2} x \sqrt{1+2 x^{2}}\, dx
b) \displaystyle \int_{-1/3}^{1/3} \frac{1}{1+9 x^{2}}\, dx
c) \displaystyle \int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1}\, dx
d) \displaystyle \int_{0}^{1/4} \frac{8 x}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\, dx
Informações relevantes fornecidas: os integrandos e os limites de integração (para as integrais definidas). Em cada caso primeiro encontraremos uma primitiva F(x) (ou uma família de primitivas) e depois calcularemos F(b)-F(a) para o intervalo [a,b].

Passo 2

(a) Encontrar a primitiva de \displaystyle x\sqrt{1+2x^{2}}.
Método: substituição. A ideia da substituição é escolher uma nova variável u que simplifique a expressão. Aqui a raiz envolve 1+2x^2, então definimos
u=1+2x^{2}.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 4x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{4}\,du.
Substituindo na integral:
\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \int \sqrt{u}\cdot\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.
Agora integramos uma potência: se \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1). Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{1}{6}u^{3/2}+C.
Voltando a x:
\boxed{\,\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}+C\,.}

Passo 3

(a) Calcular a integral definida usando a primitiva encontrada.
Usamos F(x)=\dfrac{1}{6}(1+2x^{2})^{3/2}. Avaliando em 0 e 2:
F(2)=\frac{1}{6}\bigl(1+2\cdot 2^{2}\bigr)^{3/2}=\frac{1}{6}\bigl(1+8\bigr)^{3/2}=\frac{1}{6}\cdot 9^{3/2}.
Como 9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27, segue F(2)=27/6=9/2.
F(0)=\frac{1}{6}\bigl(1+0\bigr)^{3/2}=\frac{1}{6}.
Portanto
\int_{0}^{2} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = F(2)-F(0)=\frac{9}{2}-\frac{1}{6}=\frac{27-1}{6}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}.

Passo 4

(b) Encontrar a primitiva de \displaystyle \frac{1}{1+9x^{2}}.
Usamos a primitiva clássica da função arctangente: a derivada de \arctan t é \dfrac{1}{1+t^{2}}. Por cadeia, se tivermos \int \dfrac{1}{1+(ax)^{2}}\,dx então fazendo t=ax obtemos
\int \frac{1}{1+a^{2}x^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan(ax)+C \quad\text{(para }a>0\text{)}.
No nosso caso a=3, logo
\boxed{\,\int \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\arctan(3x)+C\,.}

Passo 5

(b) Calcular a integral definida de -\tfrac{1}{3} a \tfrac{1}{3}.
Usamos F(x)=\dfrac{1}{3}\arctan(3x). Então
F\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\arctan(1)=\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}, \qquad F\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\arctan(-1)=\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\pi}{12}.
Subtraindo,
\int_{-1/3}^{1/3}\frac{1}{1+9x^{2}}\,dx = F\!\left(\tfrac{1}{3}\right)-F\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{12}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{6}.

Passo 6

(c) Encontrar a primitiva de \displaystyle \frac{x}{x^{2}+1}.
Método: substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx ou x\,dx=\dfrac{1}{2}du. Substituindo,
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u|+C.
Voltando a x:
\boxed{\,\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C\,.}

Passo 7

(c) Calcular a integral definida de 1 a 3.
Usando F(x)=\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1),
\int_{1}^{3}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(3^{2}+1)-\frac{1}{2}\ln(1^{2}+1) = \frac{1}{2}\ln(10)-\frac{1}{2}\ln(2).
Podemos combinar os logaritmos:
\frac{1}{2}\bigl(\ln 10-\ln 2\bigr)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{10}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln 5.

Passo 8

(d) Encontrar a primitiva de \displaystyle \frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}.
Método: substituição u=1-4x^{2}. Derivando, du=-8x\,dx, ou seja 8x\,dx=-du. Então
\int \frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx = \int \frac{-1}{\sqrt{u}}\,du = -\int u^{-1/2}\,du.
Integrando a potência: \int u^{-1/2}\,du = 2u^{1/2}+C. Assim
-\int u^{-1/2}\,du = -2u^{1/2}+C = -2\sqrt{u}+C.
Voltando a x:
\boxed{\,\int \frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx = -2\sqrt{1-4x^{2}}+C\,.}

Passo 9

(d) Calcular a integral definida de 0 a 1/4.
Usamos F(x)=-2\sqrt{1-4x^{2}}. Avaliando:
F\!\left(\tfrac{1}{4}\right) = -2\sqrt{1-4\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}} = -2\sqrt{1-4\cdot\tfrac{1}{16}} = -2\sqrt{1-\tfrac{1}{4}} = -2\sqrt{\tfrac{3}{4}} = -2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}.
F(0) = -2\sqrt{1-0} = -2.
Portanto
\int_{0}^{1/4}\frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx = F\!\left(\tfrac{1}{4}\right)-F(0) = -\sqrt{3}-(-2)=2-\sqrt{3}.

Resposta

\dfrac{13}{3}
\dfrac{\pi}{6}
\dfrac{1}{2}\ln 5
2-\sqrt{3}

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