Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida
a)
b)
c)
d)
a)
Passo 1
O problema pede calcular a integral indefinida de cada integrando e, em seguida, usar essa primitiva para calcular a integral definida nos intervalos dados. As quatro integrais são:
a)
b)
c)
d)
Informações relevantes fornecidas: os integrandos e os limites de integração (para as integrais definidas). Em cada caso primeiro encontraremos uma primitiva
(ou uma família de primitivas) e depois calcularemos
para o intervalo
.
Passo 2
(a) Encontrar a primitiva de
.
Método: substituição. A ideia da substituição é escolher uma nova variável
que simplifique a expressão. Aqui a raiz envolve
, então definimos
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Substituindo na integral:
Agora integramos uma potência: se
(para
). Aqui
, então
Voltando a
:
Passo 3
(a) Calcular a integral definida usando a primitiva encontrada.
Usamos
. Avaliando em
e
:
Como
, segue
.
Portanto
Passo 4
(b) Encontrar a primitiva de
.
Usamos a primitiva clássica da função arctangente: a derivada de
é
. Por cadeia, se tivermos
então fazendo
obtemos
No nosso caso
, logo
Passo 5
(b) Calcular a integral definida de
a
.
Usamos
. Então
Subtraindo,
Passo 6
(c) Encontrar a primitiva de
.
Método: substituição
. Então
ou
. Substituindo,
Voltando a
:
Passo 7
(c) Calcular a integral definida de
a
.
Usando
,
Podemos combinar os logaritmos:
Passo 8
(d) Encontrar a primitiva de
.
Método: substituição
. Derivando,
, ou seja
. Então
Integrando a potência:
. Assim
Voltando a
:
Passo 9
(d) Calcular a integral definida de
a
.
Usamos
. Avaliando:
Portanto