Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{0}^{1 / 4} \frac{8 x}{\sqrt{1-4 x^{2}}} d x=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar uma primitiva (integral indefinida) de \displaystyle \frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}} e (2) usar essa primitiva para calcular a integral definida
\int_{0}^{1/4} \frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}.
  • Os limites da integral definida são \displaystyle x=0 e \displaystyle x=\tfrac{1}{4}.

Passo 2

Vamos buscar uma substituição simples que transforme a raiz em algo mais manejável. Note que a expressão dentro da raiz é \displaystyle 1-4x^{2}. Se definirmos
u = 1-4x^{2},
então derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = -8x,
ou seja
du = -8x\,dx.
Reorganizando, temos
8x\,dx = -du.
Essa escolha é conveniente porque o numerador \displaystyle 8x\,dx aparece exatamente na integral original; assim a substituição elimina o x e transforma a integral em termos de u apenas.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral indefinida:
\int \frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx = \int \frac{8x\,dx}{\sqrt{u}} = \int \frac{-du}{\sqrt{u}}.
Agora escrever \displaystyle \frac{1}{\sqrt{u}}=u^{-1/2}. Assim
\int \frac{-du}{\sqrt{u}} = -\int u^{-1/2}\,du.
Usamos a fórmula básica de integração de potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, logo
-\int u^{-1/2}\,du = -\frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + C = -\frac{u^{1/2}}{1/2} + C = -2\,u^{1/2} + C.

Passo 4

Voltando à variável x (substituindo u=1-4x^{2}), obtemos a primitva
\int \frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx = -2\sqrt{1-4x^{2}} + C.
Para ter confiança, fazemos uma checagem rápida pela derivada (regra da cadeia). Calculemos
\frac{d}{dx}\bigl(-2\sqrt{1-4x^{2}}\bigr) = -2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-4x^{2}}}\cdot(-8x) = \frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 5

Agora usamos essa primitiva para calcular a integral definida. Seja
F(x) = -2\sqrt{1-4x^{2}}.
Então
\int_{0}^{1/4} \frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx = F\!\left(\tfrac{1}{4}\right) - F(0).
Calculemos F\!\left(\tfrac{1}{4}\right) e F(0):
F\!\left(\tfrac{1}{4}\right) = -2\sqrt{1-4\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}} = -2\sqrt{1-4\cdot\tfrac{1}{16}} = -2\sqrt{1-\tfrac{1}{4}} = -2\sqrt{\tfrac{3}{4}} = -2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3},
F(0) = -2\sqrt{1-4\cdot 0^{2}} = -2\sqrt{1} = -2.
Portanto
\int_{0}^{1/4} \frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx = (-\sqrt{3}) - (-2) = 2 - \sqrt{3}.

Resposta

-2\sqrt{1-4x^{2}}+C
2-\sqrt{3}

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