Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar uma primitiva (integral indefinida) de
e (2) usar essa primitiva para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites da integral definida são
e .
Passo 2
Vamos buscar uma substituição simples que transforme a raiz em algo mais manejável. Note que a expressão dentro da raiz é
. Se definirmos
então derivando ambos os lados em relação a
obtemos
ou seja
Reorganizando, temos
Essa escolha é conveniente porque o numerador
aparece exatamente na integral original; assim a substituição elimina o
e transforma a integral em termos de
apenas.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral indefinida:
Agora escrever
. Assim
Usamos a fórmula básica de integração de potência: para
,
Aqui
, logo
Passo 4
Voltando à variável
(substituindo
), obtemos a primitva
Para ter confiança, fazemos uma checagem rápida pela derivada (regra da cadeia). Calculemos
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 5
Agora usamos essa primitiva para calcular a integral definida. Seja
Então
Calculemos
e
:
Portanto