Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{3}^{4}\left(4+\frac{24}{x^{2}}\right) d x=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral indefinida \displaystyle \int\left(4+\frac{24}{x^{2}}\right)\,dx.
  • Usar esse resultado para calcular a integral definida \displaystyle \int_{3}^{4}\left(4+\frac{24}{x^{2}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é f(x)=4+\dfrac{24}{x^{2}}.
  • O intervalo para a integral definida é de x=3 até x=4.

Passo 2

Revisão rápida das regras que vou usar (para você lembrar na prova):
  • Regra da soma: \displaystyle \int (g(x)+h(x))\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx.
  • Regra da constante: \displaystyle \int c\cdot g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx para constante c.
  • Regra da potência (power rule): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.
  • Caso n=-2, x^{n}=x^{-2} e a fórmula ainda vale: \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo à integral indefinida:
Primeiro escrevo o segundo termo como potência: \displaystyle \frac{24}{x^{2}}=24x^{-2}.
Então
\int\left(4+\frac{24}{x^{2}}\right)\,dx = \int 4\,dx + \int 24x^{-2}\,dx.
Usando a regra da constante e da potência:
\int 4\,dx = 4x + C_1, \qquad \int 24x^{-2}\,dx = 24\int x^{-2}\,dx = 24\bigl(-x^{-1}\bigr)+C_2 = -\frac{24}{x}+C_2.
Somando (podemos juntar as constantes C_1 e C_2 em uma única C):
\int\left(4+\frac{24}{x^{2}}\right)\,dx = 4x - \frac{24}{x} + C.

Passo 4

Verificação rápida (dica de prova): derivando F(x)=4x-\dfrac{24}{x} obtém-se
F'(x)=4 - \left(-24\cdot x^{-2}\right)'?
Melhor calcular direto: \dfrac{d}{dx}\bigl(-24x^{-1}\bigr) = -24(-1)x^{-2}=24x^{-2}. Logo
F'(x)=4+24x^{-2}=4+\frac{24}{x^2},
o que confirma que F é uma primitiva correta.

Passo 5

Agora uso o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f, então
\int_{3}^{4} f(x)\,dx = F(4)-F(3).
Aqui F(x)=4x-\dfrac{24}{x}. Vou avaliar em x=4 e x=3.

Passo 6

Calcular F(4) e F(3):
F(4)=4\cdot 4 - \frac{24}{4} = 16 - 6 = 10,
F(3)=4\cdot 3 - \frac{24}{3} = 12 - 8 = 4.
Portanto
\int_{3}^{4}\left(4+\frac{24}{x^{2}}\right)\,dx = F(4)-F(3)=10-4=6.

Resposta

\displaystyle \int\left(4+\frac{24}{x^{2}}\right)\,dx = 4x-\frac{24}{x}+C
\displaystyle \int_{3}^{4}\left(4+\frac{24}{x^{2}}\right)\,dx = 6

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