Esboce os gráficos das seguintes superfícies quadráticas (recomenda-se o uso de algum software de gráficos).
(Parabolóide elíptico)
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e pede que se esboce o gráfico dessa superfície (já nomeada no enunciado como parabolóide elíptico).
Informações fornecidas e o que é pedido:
Informações fornecidas e o que é pedido:
- Equação dada:
. - Pedir: esboçar/visualizar a superfície no espaço
. - Não há valores numéricos adicionais; espera-se uma descrição do formato e instruções para desenhar/esboçar.
Passo 2
Achar vértice, direção de abertura e domínio/contradomínio simples da superfície.
Observação fundamental: para todo vale
e
, portanto a soma é
. Assim:
Observação fundamental: para todo
- O menor valor possível de
é , obtido quando e . - Logo o vértice da superfície é o ponto
. - A superfície abre no sentido crescente do eixo
(ou seja, para ), porque aumenta quando ou se afastam de zero. - Domínio em
: todo o plano . Contradomínio em : .
Explicação didática: como
é soma de termos quadráticos não-negativos, o ponto mais baixo da superfície (menor
) é quando esses termos são zero; por isso vértice em
e abertura para valores positivos de
.
Passo 3
Traços (interseções com planos coordenados) — isso ajuda muito no esboço.
- Plano
. Substituindo obtemos
Isto é uma parábola no plano
(plano
): vértice em
e abre para a direita ao longo do eixo
.
- Plano
. Substituindo obtemos
Isto é outra parábola, agora no plano
(plano
), também com vértice em
e abrindo para
. Note que essa parábola é “mais larga” que
porque o coeficiente em
é
(isso faz o ramo em
crescer mais devagar em
).
- Plano
com constante . Para uma seção de nível fixa:
Reescrevendo em forma padrão de elipse:
Isto é uma elipse centrada em
com semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
. Conclusão: as seções transversais por planos
const são elipses cujo eixo maior está na direção
(duas vezes maior que em
).
Didática: as seções por
const mostram “fatias” da superfície; à medida que
cresce, as elipses aumentam de tamanho e ficam empilhadas ao longo do eixo
.
Passo 4
Parâmetros e representação útil para plotagem e para entender a forma. Uma parametrização natural é tomar parâmetros
e
correspondendo a
e
:
onde
representa
e
representa
.
Isso significa: para cada par pega-se o ponto com coordenadas
dadas acima — é uma maneira prática para gerar malha (mesh) em software.
Isso significa: para cada par
Explicação didática: parametrizar transforma o problema de desenhar uma superfície em desenhar imagens de uma grade retangular no plano
; cada linha
const ou
const gera uma curva na superfície (estas curvas são as parábolas e as elipses que vimos nas seções).
Passo 5
Passo a passo prático para esboçar à mão (sem software):
- Desenhe os eixos cartesianos tridimensionais: escolha
apontando para a direita, vertical para cima e saindo/entrando na página em diagonal (modo de perspectiva). - Marque o vértice
. - Desenhe as duas parábolas principais:
- No plano
: desenhe (parábola mais “estreita” no plano ). - No plano
: desenhe (parábola mais “larga” no plano ).
Essas duas curvas mostram a abertura da superfície na direção.
- No plano
- Para alguns valores de
positivos (por exemplo ), desenhe as elipses de seção: - Para
: semi-eixos , → elipse de raio em igual a e em igual a . - Para
: semi-eixos , . - Para
: semi-eixos , .
Desenhe essas elipses com centros nos pontos, , e vá ligando suavemente — isso mostra a “boca” que se abre para .
- Para
- Ligue visualmente as elipses e as parábolas para obter a superfície contínua; lembre-se que as elipses ficam cada vez maiores conforme
cresce.
Dica empática: comece com poucas elipses e as parábolas centrais; só depois acrescente mais detalhes. Não precisa ficar perfeito no rascunho da prova — o examinador quer ver as características principais: vértice, eixo, abertura e elipses transversais.
Passo 6
Observações geométricas importantes para interpretar/esboçar na prova:
- Eixo do parabolóide: direção do eixo é a direção do eixo
(várias seções const centram-se numa reta paralela ao eixo ). - Assimetria entre
e : coeficiente em torna a superfície mais “larga” na direção do que em (isto aparece nas elipses, onde o semi-eixo em vale o dobro do semi-eixo em ). - Simetria: a superfície é simétrica em relação aos planos
e (trabalhamos com quadrados). - Não há pontos com
; portanto, ao desenhar, não espere ramificações para .
Passo 7
Como gerar o gráfico num software (caso queira confirmar com o computador):
- Em GeoGebra 3D, inserir a equação
na entrada 3D plota diretamente a superfície. - Em softwares tipo MATLAB/Octave ou Python (matplotlib), parametrizar por
e e avaliar pela fórmula funciona bem: criar uma grade em , calcular e usar uma função de plot em superfície. (Esses passos seguem a parametrização do Passo 4.)
Resposta
Parabolóide elíptico com vértice em
, eixo paralelo ao eixo
e abertura para
. As seções por
são elipses dadas por
; as traças principais são
(plano
) e
(plano
).