Esboce os gráficos das seguintes superfícies quadráticas (recomenda-se o uso de algum software de gráficos).
x=z^{2}+\frac{y^{2}}{4} (Parabolóide elíptico)

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
x = z^{2} + \frac{y^{2}}{4}
e pede que se esboce o gráfico dessa superfície (já nomeada no enunciado como parabolóide elíptico).
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • Equação dada: \,x = z^{2} + \dfrac{y^{2}}{4}\,.
  • Pedir: esboçar/visualizar a superfície no espaço (x,y,z).
  • Não há valores numéricos adicionais; espera-se uma descrição do formato e instruções para desenhar/esboçar.

Passo 2

Achar vértice, direção de abertura e domínio/contradomínio simples da superfície.
Observação fundamental: para todo y,z vale \,z^{2}\ge 0 e \dfrac{y^{2}}{4}\ge 0, portanto a soma é \ge 0. Assim:
  • O menor valor possível de x é 0, obtido quando y=0 e z=0.
  • Logo o vértice da superfície é o ponto \,(0,0,0).
  • A superfície abre no sentido crescente do eixo x (ou seja, para x>0), porque x aumenta quando y ou z se afastam de zero.
  • Domínio em (y,z): todo o plano \mathbb{R}^{2}. Contradomínio em x: [0,\infty).
Explicação didática: como x é soma de termos quadráticos não-negativos, o ponto mais baixo da superfície (menor x) é quando esses termos são zero; por isso vértice em (0,0,0) e abertura para valores positivos de x.

Passo 3

Traços (interseções com planos coordenados) — isso ajuda muito no esboço.
  1. Plano y=0. Substituindo y=0 obtemos
x = z^{2}.
Isto é uma parábola no plano y=0 (plano x\!-\!z): vértice em (0,0,0) e abre para a direita ao longo do eixo x.
  1. Plano z=0. Substituindo z=0 obtemos
x = \frac{y^{2}}{4}.
Isto é outra parábola, agora no plano z=0 (plano x\!-\!y), também com vértice em (0,0,0) e abrindo para x>0. Note que essa parábola é “mais larga” que x=z^{2} porque o coeficiente em y^{2} é \tfrac{1}{4} (isso faz o ramo em y crescer mais devagar em x).
  1. Plano x=c com constante c\ge 0. Para uma seção de nível fixa:
z^{2}+\frac{y^{2}}{4}=c.
Reescrevendo em forma padrão de elipse:
\frac{y^{2}}{(2\sqrt{c})^{2}}+\frac{z^{2}}{(\sqrt{c})^{2}}=1.
Isto é uma elipse centrada em (x=c,y=0,z=0) com semi-eixo em y igual a 2\sqrt{c} e semi-eixo em z igual a \sqrt{c}. Conclusão: as seções transversais por planos x=const são elipses cujo eixo maior está na direção y (duas vezes maior que em z).
Didática: as seções por x=const mostram “fatias” da superfície; à medida que c cresce, as elipses aumentam de tamanho e ficam empilhadas ao longo do eixo x.

Passo 4

Parâmetros e representação útil para plotagem e para entender a forma. Uma parametrização natural é tomar parâmetros u e v correspondendo a y e z:
\mathbf{r}(u,v)=\bigl(u^{2}/4 + v^{2},\; u,\; v\bigr),
onde u\in\mathbb{R} representa y e v\in\mathbb{R} representa z.
Isso significa: para cada par (u,v) pega-se o ponto com coordenadas (x,y,z) dadas acima — é uma maneira prática para gerar malha (mesh) em software.
Explicação didática: parametrizar transforma o problema de desenhar uma superfície em desenhar imagens de uma grade retangular no plano (u,v); cada linha u=const ou v=const gera uma curva na superfície (estas curvas são as parábolas e as elipses que vimos nas seções).

Passo 5

Passo a passo prático para esboçar à mão (sem software):
  1. Desenhe os eixos cartesianos tridimensionais: escolha x apontando para a direita, z vertical para cima e y saindo/entrando na página em diagonal (modo de perspectiva).
  2. Marque o vértice (0,0,0).
  3. Desenhe as duas parábolas principais:
    • No plano y=0: desenhe x=z^{2} (parábola mais “estreita” no plano x\!-\!z).
    • No plano z=0: desenhe x=\dfrac{y^{2}}{4} (parábola mais “larga” no plano x\!-\!y).
      Essas duas curvas mostram a abertura da superfície na direção +x.
  4. Para alguns valores de x positivos (por exemplo x=1,\,4,\,9), desenhe as elipses de seção:
    • Para x=1: semi-eixos a_{y}=2\sqrt{1}=2, a_{z}=\sqrt{1}=1 → elipse de raio em y igual a 2 e em z igual a 1.
    • Para x=4: semi-eixos a_{y}=2\sqrt{4}=4, a_{z}=\sqrt{4}=2.
    • Para x=9: semi-eixos a_{y}=2\sqrt{9}=6, a_{z}=\sqrt{9}=3.
      Desenhe essas elipses com centros nos pontos (1,0,0), (4,0,0), (9,0,0) e vá ligando suavemente — isso mostra a “boca” que se abre para +x.
  5. Ligue visualmente as elipses e as parábolas para obter a superfície contínua; lembre-se que as elipses ficam cada vez maiores conforme x cresce.
Dica empática: comece com poucas elipses e as parábolas centrais; só depois acrescente mais detalhes. Não precisa ficar perfeito no rascunho da prova — o examinador quer ver as características principais: vértice, eixo, abertura e elipses transversais.

Passo 6

Observações geométricas importantes para interpretar/esboçar na prova:
  • Eixo do parabolóide: direção do eixo é a direção do eixo x (várias seções x=const centram-se numa reta paralela ao eixo x).
  • Assimetria entre y e z: coeficiente 1/4 em y^{2} torna a superfície mais “larga” na direção y do que em z (isto aparece nas elipses, onde o semi-eixo em y vale o dobro do semi-eixo em z).
  • Simetria: a superfície é simétrica em relação aos planos y=0 e z=0 (trabalhamos com quadrados).
  • Não há pontos com x<0; portanto, ao desenhar, não espere ramificações para x<0.

Passo 7

Como gerar o gráfico num software (caso queira confirmar com o computador):
  • Em GeoGebra 3D, inserir a equação \,x = z^{2} + \dfrac{y^{2}}{4}\, na entrada 3D plota diretamente a superfície.
  • Em softwares tipo MATLAB/Octave ou Python (matplotlib), parametrizar por y e z e avaliar x pela fórmula funciona bem: criar uma grade em y,z, calcular x=z^{2}+y^{2}/4 e usar uma função de plot em superfície. (Esses passos seguem a parametrização do Passo 4.)

Resposta

Parabolóide elíptico com vértice em (0,0,0), eixo paralelo ao eixo x e abertura para x>0. As seções por x=c são elipses dadas por \dfrac{y^{2}}{(2\sqrt{c})^{2}}+\dfrac{z^{2}}{(\sqrt{c})^{2}}=1; as traças principais são x=z^{2} (plano y=0) e x=\dfrac{y^{2}}{4} (plano z=0).

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