Esboce os gráficos das seguintes superfícies quadráticas (recomenda-se o uso de algum software de gráficos).
(Cone)
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede para esboçar o gráfico (isto é, reconhecer a forma da superfície e mostrar como desenhá‑la). Informações relevantes que já temos:
- A equação é homogênea de grau 2 (todos os termos são quadráticos).
- Só há termos quadráticos (sem termos lineares ou constantes).
- O enunciado já diz entre parênteses “Cone”, então a superfície esperada é um cone (duplo), mas precisamos justificar e explicar como esboçá‑lo.
Passo 2
Colocar a equação numa forma mais clara: escrever os quadrados com divisores iguais para comparar direções.
é o mesmo que
Explicação didática: quando uma forma quadrática tem sinais mistos (alguns termos positivos e algum termo negativo) e é igual a zero, isso geralmente representa um cone duplo com vértice na origem. Aqui há dois termos positivos (relacionados a
e
) e um negativo (relacionado a
), então esperamos um cone cujo eixo principal é a direção do termo negativo ou positivo dominante — neste caso o cone abre ao longo do eixo
(duas nappes, uma para
e outra para
).
Passo 3
Isolar
para ver a dependência explícita:
Multiplicando a equação original por obtém‑se
Multiplicando a equação original por
Logo
Interpretação: para cada
o valor de
é
uma certa norma elíptica de
. Isso dá imediatamente a forma de cone duplo (duas folhas simétricas em relação ao plano
).
Passo 4
Analisar seções horizontais (planos
constante) — muito útil para o esboço:
Fixe com
. Substituindo em
obtemos
Fixe
Dividindo por
dá
Portanto, a interseção com o plano
é uma elipse com semi‑eixos
Exemplos numéricos para fixar a ideia:
- Para
a seção é a elipse com semi‑eixos e . Pontos extremos: e . - Para
a seção é a elipse com semi‑eixos e . Pontos extremos: e .
Conclusão prática: conformecresce, as elipses horizontais aumentam de tamanho linearmente em ; para são as mesmas elipses refletidas.
Passo 5
Analisar seções verticais (planos que contêm o eixo
) — mostram as geratrizes (linhas geradoras) do cone.
- Plano
: a equação fica , isto é
Ou seja, na seção
o cone corta por duas retas
e
.
- Plano
: a equação fica , isto é
Na seção
aparecem duas retas com inclinação diferente:
.
Interpretação geométrica simples: as geratrizes do cone são retas que passam pela origem; ao olhar no plano vê‑se um ângulo com tangente
e no plano
vê‑se um ângulo com tangente
. Isso mostra que o cone é elíptico (não circular) — as geratrizes têm inclinações diferentes em direções ortogonais.
Interpretação geométrica simples: as geratrizes do cone são retas que passam pela origem; ao olhar no plano
Passo 6
Construir uma parametrização (útil para plotar no software e entender a geometria):
Faça a mudança de escala
Faça a mudança de escala
A equação transforma‑se em
Esta é a equação de um cone circular nas coordenadas
, com parametrização radial natural
. Voltando às coordenadas originais obtém‑se a parametrização da superfície:
com
e
. Explicação prática: para cada
fixo a variação em
dá uma reta (geratriz) saindo da origem; variando
obtém‑se toda a concha elíptica.
Passo 7
Gerar alguns pontos concretos (para colocar no esboço ou no software):
Escolhendo :
Escolhendo
-
dá . -
dá . -
dá .
Escolhendoe dá (ponto da elipse em ). Esses pontos confirmam as elipses horizontais e as geratrizes retas.
Passo 8
Como esboçar à mão (passo a passo prático e simples):
- Desenhe um sistema de eixos tridimensional: eixo
vertical, e no plano horizontal (x para a direita, y para fora/para cima do plano da folha conforme preferir). - Marque o vértice na origem
. - No plano
desenhe as retas (elas formam um “V” simétrico). No plano desenhe as retas (um “V” mais fechado). Essas duas vistas ajudam a posicionar a abertura do cone. - Desenhe algumas elipses horizontais, por exemplo para
e , usando os semi‑eixos e computados no Passo 4; faça as mesmas elipses para e . - Una suavemente as elipses pelo envelope formado pelas geratrizes (as linhas retas que ligam a origem aos pontos das elipses) para formar as duas nappes do cone.
- Sombreie levemente ou trace linhas-guia para mostrar que a superfície é contínua e cônica. Não esqueça de indicar que a superfície é simétrica em relação ao plano
.
Passo 9
Dicas para plotar em software (se quiser usar): use a parametrização
para a folha superior com
e a folha inferior com sinal negativo; escolha
conveniente (ex.:
ou
). Em Python/matplotlib ou em um plotador 3D basta avaliar sobre uma grade de
e renderizar com superfícies ou malha de linhas.
Resposta
Cono duplo elíptico com vértice em
e eixo ao longo de
. Seções horizontais
são elipses com semi‑eixos
(direção
) e
(direção
). Seções em
são as retas
; em
são as retas
. Parametrização: