Esboce os gráficos das seguintes superfícies quadráticas (recomenda-se o uso de algum software de gráficos).
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{4}=0 (Cone)

Passo 1

O enunciado dá a superfície
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{4}=0
e pede para esboçar o gráfico (isto é, reconhecer a forma da superfície e mostrar como desenhá‑la). Informações relevantes que já temos:
  • A equação é homogênea de grau 2 (todos os termos são quadráticos).
  • Só há termos quadráticos (sem termos lineares ou constantes).
  • O enunciado já diz entre parênteses “Cone”, então a superfície esperada é um cone (duplo), mas precisamos justificar e explicar como esboçá‑lo.

Passo 2

Colocar a equação numa forma mais clara: escrever os quadrados com divisores iguais para comparar direções.
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{4}=0
é o mesmo que
\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}-\left(\frac{z}{2}\right)^{2}=0.
Explicação didática: quando uma forma quadrática tem sinais mistos (alguns termos positivos e algum termo negativo) e é igual a zero, isso geralmente representa um cone duplo com vértice na origem. Aqui há dois termos positivos (relacionados a x e y) e um negativo (relacionado a z), então esperamos um cone cujo eixo principal é a direção do termo negativo ou positivo dominante — neste caso o cone abre ao longo do eixo z (duas nappes, uma para z>0 e outra para z<0).

Passo 3

Isolar z para ver a dependência explícita:
Multiplicando a equação original por 4 obtém‑se
x^{2}+\frac{4}{9}y^{2}=z^{2}.
Logo
z=\pm\sqrt{x^{2}+\frac{4}{9}y^{2}}.
Interpretação: para cada (x,y) o valor de z é \pm uma certa norma elíptica de (x,y). Isso dá imediatamente a forma de cone duplo (duas folhas simétricas em relação ao plano z=0).

Passo 4

Analisar seções horizontais (planos z= constante) — muito útil para o esboço:
Fixe z=k com k\neq0. Substituindo em x^{2}+\dfrac{4}{9}y^{2}=z^{2} obtemos
x^{2}+\frac{4}{9}y^{2}=k^{2}.
Dividindo por k^{2}
\left(\frac{x}{k}\right)^{2}+\left(\frac{y}{\tfrac{3}{2}k}\right)^{2}=1.
Portanto, a interseção com o plano z=k é uma elipse com semi‑eixos
a=|k| \quad\text{(direção \(x\))},\qquad b=\frac{3}{2}|k|\quad\text{(direção \(y\))}.çãçã
Exemplos numéricos para fixar a ideia:
  • Para z=1 a seção é a elipse com semi‑eixos a=1 e b=\tfrac{3}{2}. Pontos extremos: (\pm1,0,1) e (0,\pm\tfrac{3}{2},1).
  • Para z=2 a seção é a elipse com semi‑eixos a=2 e b=3. Pontos extremos: (\pm2,0,2) e (0,\pm3,2).
    Conclusão prática: conforme z cresce, as elipses horizontais aumentam de tamanho linearmente em z; para z<0 são as mesmas elipses refletidas.

Passo 5

Analisar seções verticais (planos que contêm o eixo z) — mostram as geratrizes (linhas geradoras) do cone.
  • Plano y=0: a equação fica \dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{z^{2}}{4}=0, isto é
x^{2}-z^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad z=\pm x.
Ou seja, na seção y=0 o cone corta por duas retas z=x e z=-x.
  • Plano x=0: a equação fica \dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{z^{2}}{4}=0, isto é
\frac{y^{2}}{9}=\frac{z^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad z=\pm\frac{2}{3}y.
Na seção x=0 aparecem duas retas com inclinação diferente: z=\pm\tfrac{2}{3}y.
Interpretação geométrica simples: as geratrizes do cone são retas que passam pela origem; ao olhar no plano xz vê‑se um ângulo com tangente 1 e no plano yz vê‑se um ângulo com tangente \tfrac{2}{3}. Isso mostra que o cone é elíptico (não circular) — as geratrizes têm inclinações diferentes em direções ortogonais.

Passo 6

Construir uma parametrização (útil para plotar no software e entender a geometria):
Faça a mudança de escala
u=\frac{x}{2},\qquad v=\frac{y}{3},\qquad w=\frac{z}{2}.
A equação transforma‑se em
u^{2}+v^{2}-w^{2}=0\quad\Longleftrightarrow\quad w^{2}=u^{2}+v^{2}.
Esta é a equação de um cone circular nas coordenadas (u,v,w), com parametrização radial natural u=r\cos\theta,\;v=r\sin\theta,\;w=\pm r. Voltando às coordenadas originais obtém‑se a parametrização da superfície:
(x,y,z)=(2r\cos\theta,\;3r\sin\theta,\;\pm 2r),
com r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). Explicação prática: para cada \theta fixo a variação em r dá uma reta (geratriz) saindo da origem; variando \theta obtém‑se toda a concha elíptica.

Passo 7

Gerar alguns pontos concretos (para colocar no esboço ou no software):
Escolhendo r=1:
  • \theta=0 (x,y,z)=(2,0,\pm2).
  • \theta=\tfrac{\pi}{2} (x,y,z)=(0,3,\pm2).
  • \theta=\tfrac{\pi}{4} (x,y,z)=(\sqrt{2},\tfrac{3}{\sqrt{2}},\pm2).
    Escolhendo r=0{,}5 e \theta=0 (1,0,\pm1) (ponto da elipse em z=\pm1). Esses pontos confirmam as elipses horizontais e as geratrizes retas.

Passo 8

Como esboçar à mão (passo a passo prático e simples):
  1. Desenhe um sistema de eixos tridimensional: eixo z vertical, x e y no plano horizontal (x para a direita, y para fora/para cima do plano da folha conforme preferir).
  2. Marque o vértice na origem (0,0,0).
  3. No plano y=0 desenhe as retas z= \pm x (elas formam um “V” simétrico). No plano x=0 desenhe as retas z=\pm\tfrac{2}{3}y (um “V” mais fechado). Essas duas vistas ajudam a posicionar a abertura do cone.
  4. Desenhe algumas elipses horizontais, por exemplo para z=1 e z=2, usando os semi‑eixos a=|z| e b=\tfrac{3}{2}|z| computados no Passo 4; faça as mesmas elipses para z=-1 e z=-2.
  5. Una suavemente as elipses pelo envelope formado pelas geratrizes (as linhas retas que ligam a origem aos pontos das elipses) para formar as duas nappes do cone.
  6. Sombreie levemente ou trace linhas-guia para mostrar que a superfície é contínua e cônica. Não esqueça de indicar que a superfície é simétrica em relação ao plano z=0.

Passo 9

Dicas para plotar em software (se quiser usar): use a parametrização (x,y,z)=(2r\cos\theta,3r\sin\theta,2r) para a folha superior com r\in[0,R] e a folha inferior com sinal negativo; escolha R conveniente (ex.: R=2 ou 3). Em Python/matplotlib ou em um plotador 3D basta avaliar sobre uma grade de (r,\theta) e renderizar com superfícies ou malha de linhas.

Resposta

Cono duplo elíptico com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo de z. Seções horizontais z=k são elipses com semi‑eixos a=|k| (direção x) e b=\tfrac{3}{2}|k| (direção y). Seções em y=0 são as retas z=\pm x; em x=0 são as retas z=\pm\tfrac{2}{3}y. Parametrização:
(x,y,z)=(2r\cos\theta,\;3r\sin\theta,\;\pm 2r),\quad r\ge0,\\ \theta\in[0,2\pi).

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