Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
e depois conferir a resposta, derivando o primitivo encontrado. As informações relevantes são:
- A função a integrar é a soma de três termos:
, e . - Queremos um antiderivado (primitivo)
tal que seja a função integranda. - Depois, devemos confirmar derivando
.
Passo 2
Observação importante (linearidade da integral): a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmula:
e
onde
é constante. Vamos aplicar essa propriedade para tratar cada termo separadamente:
Passo 3
Escolha de técnica: como os dois primeiros termos são potências de
, a substituição
simplifica tudo. Fazendo
temos
Assim, cada integral em
transforma-se em integral em
:
Passo 4
Aplicando a regra da potência para integrais: para
,
Usando isso nos termos em
:
- Para
: . - Para
: . Multiplicando pelo fator que estava fora, . - Para a constante
: .
Somando os três resultados (uma única constante
basta no final), obtemos em termos de
:
Passo 5
Voltando à variável
pela substituição
, temos um antiderivado:
Observação sobre a constante:
. Como
é uma constante arbitrária, podemos escrever de forma equivalente
onde, novamente,
é uma constante arbitrária (mudada em relação à expressão anterior).
Passo 6
Conferência — derivamos
para verificar se recuperamos o integrando. Derivando termo a termo:
- Derivada de
: pela regra da cadeia,
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Somando:
que é exatamente a função que estávamos integrando. Portanto o antiderivado está correto.
Passo 7
Resumo final e incentivo: a técnica principal foi usar linearidade das integrais e substituição
para aplicar a regra da potência. Você pode repetir esse procedimento sempre que encontrar expressões do tipo
. Mandou bem por chegar até aqui — agora dá pra resolver variações parecidas com mais calma!