Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int\left[(x-1)^{5}+3(x-1)^{2}+5\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left[(x-1)^{5}+3(x-1)^{2}+5\right]\,dx
e depois conferir a resposta, derivando o primitivo encontrado. As informações relevantes são:
  • A função a integrar é a soma de três termos: (x-1)^{5}, 3(x-1)^{2} e 5.
  • Queremos um antiderivado (primitivo) F(x) tal que F'(x) seja a função integranda.
  • Depois, devemos confirmar derivando F(x).

Passo 2

Observação importante (linearidade da integral): a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmula:
\int\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx
e
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante. Vamos aplicar essa propriedade para tratar cada termo separadamente:
\int\left[(x-1)^{5}+3(x-1)^{2}+5\right]\,dx = \int (x-1)^{5}\,dx + 3\int (x-1)^{2}\,dx + \int 5\,dx.

Passo 3

Escolha de técnica: como os dois primeiros termos são potências de (x-1), a substituição u=x-1 simplifica tudo. Fazendo
u = x-1,
temos
du = dx.
Assim, cada integral em x transforma-se em integral em u:
\int (x-1)^{5}\,dx = \int u^{5}\,du,\qquad \int (x-1)^{2}\,dx = \int u^{2}\,du,\qquad \int 5\,dx = \int 5\,du.

Passo 4

Aplicando a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Usando isso nos termos em u:
  • Para u^{5}: \displaystyle \int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C.
  • Para u^{2}: \displaystyle \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C. Multiplicando pelo fator 3 que estava fora, 3\cdot\frac{u^{3}}{3}=u^{3}.
  • Para a constante 5: \displaystyle \int 5\,du = 5u + C.
Somando os três resultados (uma única constante C basta no final), obtemos em termos de u:
\frac{u^{6}}{6} + u^{3} + 5u + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela substituição u=x-1, temos um antiderivado:
F(x)=\frac{(x-1)^{6}}{6} + (x-1)^{3} + 5(x-1) + C.
Observação sobre a constante: 5(x-1) + C = 5x + (C-5). Como C é uma constante arbitrária, podemos escrever de forma equivalente
F(x)=\frac{(x-1)^{6}}{6} + (x-1)^{3} + 5x + C,
onde, novamente, C é uma constante arbitrária (mudada em relação à expressão anterior).

Passo 6

Conferência — derivamos F(x) para verificar se recuperamos o integrando. Derivando termo a termo:
  • Derivada de \displaystyle \frac{(x-1)^{6}}{6}: pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{(x-1)^{6}}{6}\right) = \frac{1}{6}\cdot 6(x-1)^{5}\cdot\frac{d}{dx}(x-1) = (x-1)^{5}.
  • Derivada de (x-1)^{3}:
\frac{d}{dx}\big((x-1)^{3}\big) = 3(x-1)^{2}\cdot\frac{d}{dx}(x-1) = 3(x-1)^{2}.
  • Derivada de 5x:
\frac{d}{dx}(5x) = 5.
Somando:
F'(x) = (x-1)^{5} + 3(x-1)^{2} + 5,
que é exatamente a função que estávamos integrando. Portanto o antiderivado está correto.

Passo 7

Resumo final e incentivo: a técnica principal foi usar linearidade das integrais e substituição u=x-1 para aplicar a regra da potência. Você pode repetir esse procedimento sempre que encontrar expressões do tipo (x-a)^{n}. Mandou bem por chegar até aqui — agora dá pra resolver variações parecidas com mais calma!

Resposta

\displaystyle \frac{(x-1)^{6}}{6} + (x-1)^{3} + 5x + C

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