Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int 3 x \sqrt{x^{2}+8} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int 3x\sqrt{x^{2}+8}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A integranda é 3x\sqrt{x^{2}+8}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) F(x) tal que F'(x)=3x\sqrt{x^{2}+8}.
  • Depois de encontrar F(x) vamos conferir derivando-a para ver se obtemos a integranda.

Passo 2

Escolha do método e por quê: observe que a raiz envolve x^{2}+8 e aparece um fator x multiplicando essa raiz. Isso sugere a substituição que transforma x^{2}+8 numa nova variável, porque a derivada de x^{2}+8 é proporcional a x. Vamos definir a substituição:
u = x^{2}+8.
Agora derivamos ambos os lados para relacionar du com dx:
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx (porque aparece x\,dx na integral):
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Aqui u é a nova variável de integração; quando trocamos, vamos reescrever toda a integranda em função de u.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral original. Primeiro escrevo a integranda de forma explícita:
\int 3x\sqrt{x^{2}+8}\,dx = 3\int x\,(x^{2}+8)^{1/2}\,dx.
Agora substituo u=x^{2}+8 e x\,dx=\tfrac{1}{2}du:
3\int x\,(x^{2}+8)^{1/2}\,dx = 3\int \left(\frac{1}{2}\right)u^{1/2}\,du.
Simplificando o fator constante:
3\int \left(\frac{1}{2}\right)u^{1/2}\,du = \frac{3}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Integração usando a regra da potência. A regra geral é:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\qquad\text{para }n\neq -1,
onde n é um número real e u é a variável de integração. Exemplo rápido: \int u^{2}\,du = u^{3}/3 + C.
Aqui temos n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2} que tínhamos:
\frac{3}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = u^{3/2}+C.
Note a simplificação agradável: \tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{2}{3}=1.

Passo 5

Volto à variável x substituindo u = x^{2}+8:
u^{3/2}+C = (x^{2}+8)^{3/2}+C.
Portanto uma primitiva da integranda é F(x)=(x^{2}+8)^{3/2}+C.

Passo 6

Conferência: derivação da primitiva encontrada para verificar se retorna a integranda. Seja
F(x)=(x^{2}+8)^{3/2}.
Usamos a regra da cadeia: se F(x)=(g(x))^{3/2} então
F'(x)=\frac{3}{2}(g(x))^{1/2}\cdot g'(x).
Aqui g(x)=x^{2}+8 e g'(x)=2x. Logo
F'(x)=\frac{3}{2}(x^{2}+8)^{1/2}\cdot 2x.
Simplificando o 2 com \tfrac{1}{2}:
F'(x)=3x\,(x^{2}+8)^{1/2} = 3x\sqrt{x^{2}+8},
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Resumo final e incentivo: encontramos e conferimos a primitiva passo a passo. Viu como a substituição fica natural quando aparece uma expressão e sua derivada (aqui x^{2}+8 e 2x)? Isso é um truque que salva muito tempo na prova — e deu um cancelaço bonito aqui (os fatores se anularam). Força, você já dominou essa técnica nesse tipo de integral!

Resposta

(x^{2}+8)^{3/2}+C

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