Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e objetivo:
- A integranda é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada)
tal que . - Depois de encontrar
vamos conferir derivando-a para ver se obtemos a integranda.
Passo 2
Escolha do método e por quê: observe que a raiz envolve
e aparece um fator
multiplicando essa raiz. Isso sugere a substituição que transforma
numa nova variável, porque a derivada de
é proporcional a
. Vamos definir a substituição:
Agora derivamos ambos os lados para relacionar
com
:
Isolando
(porque aparece
na integral):
Aqui
é a nova variável de integração; quando trocamos, vamos reescrever toda a integranda em função de
.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral original. Primeiro escrevo a integranda de forma explícita:
Agora substituo
e
:
Simplificando o fator constante:
Passo 4
Integração usando a regra da potência. A regra geral é:
onde
é um número real e
é a variável de integração. Exemplo rápido:
.
Aqui temos , então
Aqui temos
Multiplicando pelo fator
que tínhamos:
Note a simplificação agradável:
.
Passo 5
Volto à variável
substituindo
:
Portanto uma primitiva da integranda é
.
Passo 6
Conferência: derivação da primitiva encontrada para verificar se retorna a integranda. Seja
Usamos a regra da cadeia: se
então
Aqui
e
. Logo
Simplificando o
com
:
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Resumo final e incentivo: encontramos e conferimos a primitiva passo a passo. Viu como a substituição fica natural quando aparece uma expressão e sua derivada (aqui
e
)? Isso é um truque que salva muito tempo na prova — e deu um cancelaço bonito aqui (os fatores se anularam). Força, você já dominou essa técnica nesse tipo de integral!