Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a integral indefinida e depois conferir o resultado derivando-o. A integral dada é
Informações relevantes que já temos no enunciado:
é o denominador; ele anula em
, então a primitiva será válida em intervalos que não cruzem esse ponto. Não há outras condições dadas (constante de integração
deverá aparecer no resultado).
Passo 2
Escolhendo o método: aqui a integral tem a forma “função linear no denominador”. Um truque padrão e muito prático é a substituição linear
Por que essa ideia funciona? Porque a derivada de
em relação a
é uma constante simples (
), e a integral se transforma numa integral do tipo
, que a gente sabe resolver. Vou explicar a regra que usamos a seguir.
Regra usada (intuição + fórmula):
Se é diferenciável e
é a derivada, então
Se
Isso vem diretamente da derivada de
: pela regra da cadeia,
No nosso caso não temos exatamente
multiplicando, mas isso é fácil de ajustar com um fator constante — vou mostrar.
Passo 3
Aplicando a substituição explicitamente:
-
Defina
-
Calcule
. Como , obtemos
- Substitua na integral:
- Agora usamos a primitiva conhecida de
:
- Portanto
- Volte para a variável
substituindo :
Passo 4
Comentário didático sobre o valor absoluto e a constante
:
- O
dentro do log aparece porque tem derivada para tanto quando quanto quando . Assim a primitiva é válida em qualquer intervalo que não contenha (ou seja no nosso problema). -
é a constante de integração: qualquer primitiva difere por uma constante.
Passo 5
Conferência derivando a primitiva (checar se volta para o integrando). Vamos derivar
Pela regra da cadeia, a derivada é
Como
, obtemos
Isso coincide exatamente com o integrando dado, então a primitiva está correta.