Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int \frac{1}{3 x+5} d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral indefinida e depois conferir o resultado derivando-o. A integral dada é
\int \frac{1}{3 x+5}\,dx.
Informações relevantes que já temos no enunciado:
\;3x+5 é o denominador; ele anula em x=-\tfrac{5}{3}, então a primitiva será válida em intervalos que não cruzem esse ponto. Não há outras condições dadas (constante de integração C deverá aparecer no resultado).

Passo 2

Escolhendo o método: aqui a integral tem a forma “função linear no denominador”. Um truque padrão e muito prático é a substituição linear
u = 3x+5.
Por que essa ideia funciona? Porque a derivada de u em relação a x é uma constante simples ( du/dx=3), e a integral se transforma numa integral do tipo \int \tfrac{1}{u}\,du, que a gente sabe resolver. Vou explicar a regra que usamos a seguir.
Regra usada (intuição + fórmula):
Se u=u(x) é diferenciável e u'(x) é a derivada, então
\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)| + C.
Isso vem diretamente da derivada de \ln|u(x)|: pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln|u(x)| = \frac{u'(x)}{u(x)}.
No nosso caso não temos exatamente u'(x) multiplicando, mas isso é fácil de ajustar com um fator constante — vou mostrar.

Passo 3

Aplicando a substituição explicitamente:
  1. Defina \;u = 3x+5.
  2. Calcule du. Como du/dx = 3, obtemos
du = 3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
  1. Substitua na integral:
\int \frac{1}{3x+5}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du.
  1. Agora usamos a primitiva conhecida de 1/u:
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.
  1. Portanto
\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{3}\ln|u| + C.
  1. Volte para a variável x substituindo u=3x+5:
\int \frac{1}{3x+5}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3x+5| + C.

Passo 4

Comentário didático sobre o valor absoluto e a constante C:
  • O |\,\cdot\,| dentro do log aparece porque \ln|u| tem derivada \tfrac{1}{u} para u\neq0 tanto quando u>0 quanto quando u<0. Assim a primitiva é válida em qualquer intervalo que não contenha u=0 (ou seja x=-\tfrac{5}{3} no nosso problema).
  • C é a constante de integração: qualquer primitiva difere por uma constante.

Passo 5

Conferência derivando a primitiva (checar se volta para o integrando). Vamos derivar
F(x)=\frac{1}{3}\ln|3x+5|+C.
Pela regra da cadeia, a derivada é
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{d}{dx}\big(\ln|3x+5|\big) =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3x+5}\cdot \frac{d}{dx}(3x+5).
Como \frac{d}{dx}(3x+5)=3, obtemos
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3x+5}\cdot 3 = \frac{1}{3x+5}.
Isso coincide exatamente com o integrando dado, então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \int \frac{1}{3 x+5}\,dx = \frac{1}{3}\ln\big|3 x+5\big| + C
\displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}\ln\big|3 x+5\big| + C\right) = \frac{1}{3x+5}

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