Calcule integral-infty^+infty 11+x^4 d x.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral imprópria integral-infty^+infty11+x^4,dx. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais usando o Teorema dos Resíduos na Análise Complexa. Para resolver, vamos precisar: definir um contorno no plano complexo, identificar polos de 1+z^4=0 no semiplano superior e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Vamos usar o Teorema dos Resíduos. Definimos a função complexa f(z)=11+z^4 e o contorno que é o semicírculo de raio R centrado na origem, envolvendo o eixo real e fechando no semiplano superior. Quando Rtoinfty, a integral sobre o arco tende a zero, restando apenas a integral real.

Passo 3

Precisamos encontrar os polos de f(z), ou seja, resolver em C:
1+z^4=0
As raízes são zk=e^i(pi/4+ kpi/2) para k=0,1,2,3. No semiplano superior aparecem dois polos:
z1=e^ipi/4, z2=e^i3pi/4

Passo 4

Calculamos a resíduo de f em cada polo. Para um polo simples em zk,
Res(f,zk)=limzto zk(z-zk)11+z^4 =14zk^3
Logo,
Res(f,z1)=14e^i3pi/4, Res(f,z2)=14e^i9pi/4=14e^ipi/4

Passo 5

Somamos as resíduos e aplicamos o Teorema dos Resíduos: para o contorno,
integral-R^R11+x^4,dx+integralarcof(z),dz=2pi isumk=1^2Res(f,zk)
No limite Rtoinfty a integral sobre o arco tende a zero, então
integral-infty^infty11+x^4,dx=2pi il(14e^i3pi/4+14e^ipi/4r)

Passo 6

Agora simplificamos a soma:
14e^i3pi/4+14e^ipi/4=14(e^-i3pi/4+e^-ipi/4) =14l(-tfracraiz22-itfracraiz22+tfracraiz22-itfracraiz22r) =-iraiz24
Multiplicando por 2pi i:
2pi il(-iraiz24r)=2piraiz24=piraiz22=piraiz2

Passo 7

Portanto, concluímos que
integral-infty^+infty11+x^4,dx=piraiz2

Resposta

piraiz2

Exercícios relacionados