Calcule
.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais usando o Teorema dos Resíduos na Análise Complexa. Para resolver, vamos precisar: definir um contorno no plano complexo, identificar polos de
no semiplano superior e aplicar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Vamos usar o Teorema dos Resíduos. Definimos a função complexa
e o contorno que é o semicírculo de raio
centrado na origem, envolvendo o eixo real e fechando no semiplano superior. Quando
, a integral sobre o arco tende a zero, restando apenas a integral real.
Passo 3
Precisamos encontrar os polos de
, ou seja, resolver em
:
As raízes são
para
. No semiplano superior aparecem dois polos:
Passo 4
Calculamos a resíduo de
em cada polo. Para um polo simples em
,
Logo,
Passo 5
Somamos as resíduos e aplicamos o Teorema dos Resíduos: para o contorno,
No limite
a integral sobre o arco tende a zero, então
Passo 6
Agora simplificamos a soma:
Multiplicando por
:
Passo 7
Portanto, concluímos que