Mostre que integral0^2 pi 1(a+cos theta)^2 d theta=2 pi a(a^2-1)^32.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral
integral0^2pi1l(a+costhetar)^2,dtheta
como função do parâmetro real a, sabendo que lvert arvert>1 garante convergência. Vamos usar o truque de definir um integral auxiliar e depois diferenciá-lo em relação a a.

Passo 2

Definimos
J(a)=integral0^2pi1a+costheta,dtheta,
cujo resultado clássico, obtido por substituição t=tan(theta/2) ou por análise de semicontorno, é
J(a)=2piraiza^2-1,
válido para lvert arvert>1.

Passo 3

Como a função thetamapsto1/(a+costheta) é suave para lvert arvert>1, podemos trocar derivada e integral:
J'(a) =ddaintegral0^2pi1a+costheta,dtheta =integral0^2pipartialpartial al(1a+costhetar),dtheta =-integral0^2pi1(a+costheta)^2,dtheta
Logo,
integral0^2pi1(a+costheta)^2,dtheta=-,J'(a)

Passo 4

Agora derivamos a expressão de J(a):
J(a)=2pi,(a^2-1)^-tfrac12 Longrightarrow J'(a) =2picdotl(-tfrac12r),(a^2-1)^-tfrac32cdot2a =-2pi,a(a^2-1)^tfrac32

Passo 5

Substituindo em integral1/(a+costheta)^2=-J'(a) obtemos
integral0^2pi1(a+costheta)^2,dtheta =2pi,a(a^2-1)^tfrac32,
como queríamos demonstrar.

Resposta

integral0^2pi1(a+costheta)^2,dtheta =2pi,al(a^2-1r)^32

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