Q.2)
Calcule integral-1^infty(x^41+x^6)^2 d x
Dor Portro
M. DV
l x^3 x^5(1+x^6)^2 x^21+x^6 u=1+x^6 d u=6 x^5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
integral-1^inftyl(x^41+x^6r)^2dx =integral-1^inftyx^8(1+x^6)^2,dx
O conteúdo aqui envolve integrais impróprios, simetria de função par e uso da função Beta para avaliar
integral0^infty. Também vamos precisar de manipulações em [0,1] e usar substituições e integração por partes em forma de Beta.

Passo 2

A função f(x)=x^8/(1+x^6)^2 é par, pois f(-x)=f(x). Logo
integral-1^inftyf(x),dx =integral-1^0f(x),dx+integral0^inftyf(x),dx =integral0^1f(x),dx+integral0^inftyf(x),dx
Denotamos
I1=integral0^1x^8(1+x^6)^2,dx, A=integral0^inftyx^8(1+x^6)^2,dx,
então o integral pedido é I1+A.

Passo 3

Para A usamos a fórmula
integral0^inftyx^a-1(1+x^b)^c,dx =1b,Bl(tfracab,,c-tfracabr)
Aqui a-1=8Rightarrow a=9, b=6, c=2. Logo
A =integral0^inftyx^9-1(1+x^6)^2,dx =16,Bl(tfrac96,,2-tfrac96r) =16,Bl(tfrac32,tfrac12r)
Como
Bl(tfrac32,tfrac12r) =Gamma(tfrac32),Gamma(tfrac12)Gamma(2) =tfracraizpi2,raizpi1 =pi2,
vem
A=16cdotpi2=pi12

Passo 4

Para I1 definimos também
I2=integral0^1x^2(1+x^6)^2,dx
Dividindo integral0^infty=integral0^1+integral1^infty e fazendo em integral1^infty a troca x=1/u, obtém-se a igualdade
I1+I2=A=pi12

Passo 5

Agora usamos a substituição t=x^6 para escrever
I1=16integral0^1t^1/2(1+t)^2,dt, I2=16integral0^1t^-1/2(1+t)^2,dt
Chamando
J=integral0^1t^-1/2(1+t)^2,dt,
fazemos integração por partes em
t^-1/2(1+t)^2
usando
f(t)=t^1/21+t,
o que leva a
J=1+6,I1,
e portanto
I2=16J=16+I1
Como I1+I2=pi12, substituindo I2 obtemos
I1+l(tfrac16+I1r)=pi12 ;Longrightarrow; 2I1=pi12-16=pi-212 ;Longrightarrow; I1=pi-224

Passo 6

Finalmente o integral pedido vale
I1+A =pi-224+pi12 =pi-2+2pi24 =3pi-224

Resposta

3pi-224

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