Determine, se existir, os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto1x^2-1lvert x-1rvert
que envolve fatoração de polinômio e tratamento de valor absoluto. Vamos usar a identidade x^2-1=(x-1)(x+1) e depois analisar as duas situações xto1^- e xto1^+.

Passo 2

Fatoremos o numerador:
x^2-1lvert x-1rvert =(x-1)(x+1)lvert x-1rvert
Isso mostra que a expressão é
(x+1),x-1lvert x-1rvert,
onde o quociente tfracx-1lvert x-1rvert vale +1 se x-1>0 e -1 se x-1<0.

Passo 3

Para a aproximação pela direita ( xto1^+), temos x-1>0 e lvert x-1rvert=x-1. Então
x-1lvert x-1rvert=+1 Longrightarrow x^2-1lvert x-1rvert =(x+1)cdot1=x+1
Fazendo xto1^+, obtemos
limxto1^+x^2-1lvert x-1rvert =limxto1^+(x+1)=2

Passo 4

Para a aproximação pela esquerda ( xto1^-), temos x-1<0 e lvert x-1rvert=-(x-1). Então
x-1lvert x-1rvert=-1 Longrightarrow x^2-1lvert x-1rvert =(x+1)cdot(-1)=-(x+1)
Fazendo xto1^-, obtemos
limxto1^-x^2-1lvert x-1rvert =limxto1^-[-(x+1)]=-2

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes,
limxto1^+x^2-1lvert x-1rvert=2 e limxto1^-x^2-1lvert x-1rvert=-2,
o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite limxto1x^2-1lvert x-1rvert não existe.
Entretanto,
limxto1^+ = 2 e limxto1^- = -2.

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