Considerando a equação diferencial:
(a)
Mostrar que a equação diferencial dada não é exata;
(b)
Determinar a função que ao multiplicarmos a equação diferencial por ela a nova equação diferencial seja exata;
(c)
Determinar uma família de soluções da equação diferencial (exata) obtida na alínea (b).
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
e pede:
(a) mostrar que não é exata;
(b) encontrar um fator integrante que torne a equação exata;
(c) resolver a equação exata obtida.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante.
(a) mostrar que não é exata;
(b) encontrar um fator integrante que torne a equação exata;
(c) resolver a equação exata obtida.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante.
Passo 2
Escrevemos a equação como
with
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. A condição é
Aqui
Logo
.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
com
Agora
, logo a equação é exata. Procuramos
tal que
Integrando
em
:
Derivando em
:
Portanto,
Resposta
A família geral de soluções vem de
com
constante de integração.