(1,5) Considerando a equação diferencial:
2+e^yx+(e^y+yx) d yd x=0
(a) (0,25) Mostrar que a equação diferencial dada não é exata;
(b) (0,5) Determinar a função que ao multiplicarmos a equação diferencial por ela a nova equação diferencial seja exata;
(c) (0,75) Determinar uma família de soluções da equação diferencial (exata) obtida na alínea (b).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
2 + e^yx + l(e^y + yxr)dydx = 0
e pede:
(a) mostrar que não é exata;
(b) encontrar um fator integrante que torne a equação exata;
(c) resolver a equação exata obtida.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
with
M(x,y) = 2 + e^yx, N(x,y) = e^y + yx
Calculamos
partial Mpartial y = e^yx, partial Npartial x = -,yx^2
Como partial Mpartial yneq partial Npartial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de x. A condição é
partial Mpartial y-partial Npartial xN ;deve ser função só de x çãó
Aqui
e^yx - l(-yx^2r)e^y + yx = e^yx + yx^2e^y + yx = 1x
Logo mu(x)=exp!l(integral1xdxr)=x.

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=x obtemos
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0
com
M^*(x,y) = xl(2 + e^yxr) = 2x + e^y, N^*(x,y) = xl(e^y + yxr) = x e^y + y
Agora partial M^*/partial y = e^y = partial N^*/partial x, logo a equação é exata. Procuramos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = 2x + e^y, partial Psipartial y = x e^y + y
Integrando partial Psi/partial x em x:
Psi(x,y) = integral(2x + e^y),dx = x^2 + x e^y + h(y)
Derivando em y:
partial Psipartial y = x e^y + h'(y) stackrel!= x e^y + y ;Longrightarrow; h'(y)=y ;Longrightarrow; h(y)=y^22
Portanto,
Psi(x,y) = x^2 + x e^y + y^22

Resposta

A família geral de soluções vem de
x^2 + x e^y + y^22 = C,
com C constante de integração.

Exercícios relacionados