Calcule a integral
, onde
é a parte da circunferência de raio 3 e centro na origem, com
e o segmento que une os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral ao longo de uma curva
:
As informações importantes dadas são:
- A curva
é composta por duas partes (é a união de duas subcurvas): -
: a parte da circunferência de raio e centro na origem com . Os extremos dessa parte são e . -
: o segmento de reta que une os pontos e .
-
- O integrando é a função escalar
e a integração é com respeito ao comprimento de arco .
Observação final neste passo: como
é a união de
e
, a integral sobre
é a soma das integrais sobre as duas partes:
Passo 2
Regra prática (fórmula) para integrar uma função escalar ao longo de uma curva: se uma curva é dada por uma parametrização
para
, então
Explicando cada parte:
-
é a função escalar que vamos integrar (aqui ). -
são as coordenadas da parametrização da curva em função do parâmetro . -
é a velocidade da parametrização: isso dá o elemento de comprimento em termos de .
Na prática, para cada pedaçoe faremos uma parametrização conveniente, calculamos ao longo da parametrização e multiplicamos pela velocidade para integrar em .
Passo 3
Cálculo da contribuição da parte circular
.
- Parametrização: a circunferência de raio
centrada na origem pode ser parametrizada por
Para a parte com
temos
, logo o parâmetro
varia de
até
. Portanto tomamos
.
- Velocidade
: derivando,
portanto
Isso é esperado: em uma parametrização por ângulo a um círculo de raio
, tem-se
.
- Integrando o integrando: sobre a parametrização,
- Montando a integral sobre
:
Distribuindo o
:
- Observação de simetria para facilitar: a função
é a multiplicação de (função par) por (função ímpar), logo é ímpar. Assim
Portanto sobra somente a parte constante:
Conclusão deste passo: a contribuição do arco
é
.
Passo 4
Cálculo da contribuição do segmento
que liga
a
.
- Parametrização: um parâmetro conveniente é
e
Verifique: em
obtemos
e em
obtemos
.
- Derivadas e velocidade:
então
Esse valor é constante porque é um segmento de reta parametrizado linearmente.
- Integrando o integrando ao longo da parametrização:
- Montando a integral sobre
:
Colocando o fator constante
fora da integral:
- Calculando as integrais-padrão:
Aplicando:
Somando os termos dentro do parêntese:
Logo a integral do segmento é
Conclusão deste passo: a contribuição do segmento
é
.
Passo 5
Somando as contribuições das duas partes
e
: