Calcule a integral \int_{C}\left(x^{3} y+4\right) d s, onde C é a parte da circunferência de raio 3 e centro na origem, com x>0 e o segmento que une os pontos P=(0,3) e Q=(4,5).

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral ao longo de uma curva C:
\int_{C}\left(x^{3}y+4\right)\,ds.
As informações importantes dadas são:
  • A curva C é composta por duas partes (é a união de duas subcurvas):
    • C_1: a parte da circunferência de raio 3 e centro na origem com x>0. Os extremos dessa parte são (0,-3) e (0,3).
    • C_2: o segmento de reta que une os pontos P=(0,3) e Q=(4,5).
  • O integrando é a função escalar f(x,y)=x^{3}y+4 e a integração é com respeito ao comprimento de arco ds.
Observação final neste passo: como C é a união de C_1 e C_2, a integral sobre C é a soma das integrais sobre as duas partes:
\int_{C}(x^{3}y+4)\,ds=\int_{C_1}(x^{3}y+4)\,ds+\int_{C_2}(x^{3}y+4)\,ds.

Passo 2

Regra prática (fórmula) para integrar uma função escalar ao longo de uma curva: se uma curva é dada por uma parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) para t\in[a,b], então
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\,dt.
Explicando cada parte:
  • f(x,y) é a função escalar que vamos integrar (aqui f(x,y)=x^{3}y+4).
  • x(t),y(t) são as coordenadas da parametrização da curva em função do parâmetro t.
  • \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é a velocidade da parametrização: isso dá o elemento de comprimento ds em termos de dt.
    Na prática, para cada pedaço C_1 e C_2 faremos uma parametrização conveniente, calculamos f ao longo da parametrização e multiplicamos pela velocidade para integrar em t.

Passo 3

Cálculo da contribuição da parte circular C_1.
  1. Parametrização: a circunferência de raio 3 centrada na origem pode ser parametrizada por
x(t)=3\cos t,\qquad y(t)=3\sin t.
Para a parte com x>0 temos \cos t>0, logo o parâmetro t varia de -\dfrac{\pi}{2} até \dfrac{\pi}{2}. Portanto tomamos t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
  1. Velocidade ds: derivando,
x'(t)=-3\sin t,\qquad y'(t)=3\cos t,
portanto
\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}=\sqrt{9\sin^{2}t+9\cos^{2}t}=\sqrt{9}=3.
Isso é esperado: em uma parametrização por ângulo a um círculo de raio r, tem-se ds=r\,dt.
  1. Integrando o integrando: sobre a parametrização,
x^{3}y+4=(3\cos t)^{3}\cdot(3\sin t)+4=27\cos^{3}t\cdot 3\sin t+4=81\cos^{3}t\sin t+4.
  1. Montando a integral sobre C_1:
\int_{C_1}(x^{3}y+4)\,ds =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\big(81\cos^{3}t\sin t+4\big)\cdot 3\,dt.
Distribuindo o 3:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\big(243\cos^{3}t\sin t+12\big)\,dt.
  1. Observação de simetria para facilitar: a função g(t)=\cos^{3}t\sin t é a multiplicação de \cos^{3}t (função par) por \sin t (função ímpar), logo g(t) é ímpar. Assim
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}243\cos^{3}t\sin t\,dt=0.
Portanto sobra somente a parte constante:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}12\,dt=12\cdot\left(\dfrac{\pi}{2}-\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=12\pi.
Conclusão deste passo: a contribuição do arco C_1 é 12\pi.

Passo 4

Cálculo da contribuição do segmento C_2 que liga P=(0,3) a Q=(4,5).
  1. Parametrização: um parâmetro conveniente é u\in[0,1] e
\mathbf{r}(u)=(x(u),y(u))=(0,3)+u(4,2)=(4u,\;3+2u).
Verifique: em u=0 obtemos (0,3) e em u=1 obtemos (4,5).
  1. Derivadas e velocidade:
x'(u)=4,\qquad y'(u)=2,
então
\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Esse valor é constante porque é um segmento de reta parametrizado linearmente.
  1. Integrando o integrando ao longo da parametrização:
x^{3}y+4=(4u)^{3}\big(3+2u\big)+4=64u^{3}(3+2u)+4=192u^{3}+128u^{4}+4.
  1. Montando a integral sobre C_2:
\int_{C_2}(x^{3}y+4)\,ds =\int_{0}^{1}\big(192u^{3}+128u^{4}+4\big)\cdot 2\sqrt{5}\,du.
Colocando o fator constante 2\sqrt{5} fora da integral:
2\sqrt{5}\int_{0}^{1}\big(192u^{3}+128u^{4}+4\big)\,du.
  1. Calculando as integrais-padrão:
\int_{0}^{1}u^{3}\,du=\frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1}u^{4}\,du=\frac{1}{5},\qquad \int_{0}^{1}1\,du=1.
Aplicando:
2\sqrt{5}\bigg(192\cdot\frac{1}{4}+128\cdot\frac{1}{5}+4\cdot 1\bigg) =2\sqrt{5}\bigg(48+\frac{128}{5}+4\bigg).
Somando os termos dentro do parêntese:
48+4=52,\qquad 52+\frac{128}{5}=\frac{260+128}{5}=\frac{388}{5}.
Logo a integral do segmento é
2\sqrt{5}\cdot\frac{388}{5}=\frac{776}{5}\sqrt{5}.
Conclusão deste passo: a contribuição do segmento C_2 é \dfrac{776}{5}\sqrt{5}.

Passo 5

Somando as contribuições das duas partes C_1 e C_2:
\int_{C}(x^{3}y+4)\,ds = \underbrace{12\pi}_{\text{arco}}+\underbrace{\dfrac{776}{5}\sqrt{5}}_{\text{segmento}}.

Resposta

12\pi+\frac{776}{5}\sqrt{5}

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