Calcule
se
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada quarta
.
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
- A função inicial é
. - A tarefa é calcular a derivada de ordem 4 de
, isto é .
Passo 2
Relembrando regras e fórmulas que vamos usar (passo-a-passo e sem pular etapas):
- Regra do quociente: se
então
- Derivada de funções trigonométricas básicas (vamos demonstrar uma delas quando necessário):
-
. -
.
-
- Definição de
(cosseco): . Usaremos também a identidade pitagórica relacionada:
Vou aplicar essas regras explicitamente para cada derivada, mostrando contas intermediárias.
Passo 3
Calculando a primeira derivada
. Vou derivar
usando a forma
e a regra do quociente:
Como
, isso fica
Portanto
Passo 4
Agora calculo a segunda derivada
. Parto de
. Primeiro preciso da derivada de
. Como
, pela regra da cadeia:
Usando isso, derivamos
por produto/chain:
Como
, então
Passo 5
Calculando a terceira derivada
. Parto de
Isto é um produto de três fatores constantes/funcionais; para facilitar, trato como
com
e
. Aplicando a regra do produto:
Já calculámos
(ver Passo 4). E
(Passo 3). Substituindo:
Passo 6
Simplifico
usando
para deixar a expressão mais compacta:
Substituindo
dentro do parêntese:
portanto
Passo 7
Agora calculo a quarta derivada
derivando a expressão do Passo 6:
Trato
com
e
. Usando produto:
Já temos
(Passo 4). Para
:
Substituindo em
:
Passo 8
Simplifico a expressão obtida em termos mais compactos. Factorizo
:
Usando
no parêntese:
Logo
Se preferir expandir em potências de
, usando
novamente, obtém-se a forma polinomial