Calcule f^{\prime \prime \prime \prime}(x) se f(x)=\cot x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\cot x e pede a derivada quarta f^{\prime\prime\prime\prime}(x).
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
  • A função inicial é \,f(x)=\cot x.
  • A tarefa é calcular a derivada de ordem 4 de f, isto é \,f^{(4)}(x).

Passo 2

Relembrando regras e fórmulas que vamos usar (passo-a-passo e sem pular etapas):
  • Regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
  • Derivada de funções trigonométricas básicas (vamos demonstrar uma delas quando necessário):
    • \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
    • \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
  • Definição de \csc x (cosseco): \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. Usaremos também a identidade pitagórica relacionada:
\csc^2 x = 1+\cot^2 x.
Vou aplicar essas regras explicitamente para cada derivada, mostrando contas intermediárias.

Passo 3

Calculando a primeira derivada f'(x). Vou derivar \cot x usando a forma \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\cot x = \frac{(-\sin x)\cdot \sin x - \cos x\cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x}.
Como \sin^2 x+\cos^2 x=1, isso fica
\frac{d}{dx}\cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x.
Portanto
f'(x) = -\csc^2 x.

Passo 4

Agora calculo a segunda derivada f''(x). Parto de f'(x)=-\csc^2 x. Primeiro preciso da derivada de \csc x. Como \csc x=(\sin x)^{-1}, pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\csc x = -1\cdot (\sin x)^{-2}\cdot \cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\csc x\cot x.
Usando isso, derivamos \csc^2 x por produto/chain:
\frac{d}{dx}\csc^2 x = 2\csc x\cdot \frac{d}{dx}\csc x = 2\csc x\cdot(-\csc x\cot x) = -2\csc^2 x\cot x.
Como f'(x)=-\csc^2 x, então
f''(x) = -\left(\frac{d}{dx}\csc^2 x\right) = -\big(-2\csc^2 x\cot x\big) = 2\csc^2 x\cot x.

Passo 5

Calculando a terceira derivada f^{(3)}(x). Parto de
f''(x)=2\csc^2 x\cot x.
Isto é um produto de três fatores constantes/funcionais; para facilitar, trato como 2\cdot A(x)\cdot B(x) com A(x)=\csc^2 x e B(x)=\cot x. Aplicando a regra do produto:
f^{(3)}(x)=2\big(A'(x)B(x)+A(x)B'(x)\big).
Já calculámos A'(x)=\dfrac{d}{dx}\csc^2 x=-2\csc^2 x\cot x (ver Passo 4). E B'(x)=\dfrac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x (Passo 3). Substituindo:
\begin{aligned} f^{(3)}(x) &= 2\Big((-2\csc^2 x\cot x)\cdot \cot x + \csc^2 x\cdot(-\csc^2 x)\Big)\\[4pt] &=2\Big(-2\csc^2 x\cot^2 x - \csc^4 x\Big)\\[4pt] &= -4\csc^2 x\cot^2 x -2\csc^4 x. \end{aligned}]

Passo 6

Simplifico f^{(3)}(x) usando \csc^2 x=1+\cot^2 x para deixar a expressão mais compacta:
f^{(3)}(x) = -4\csc^2 x\cot^2 x -2\csc^4 x = -2\csc^2 x\big(2\cot^2 x + \csc^2 x\big).
Substituindo \csc^2 x=1+\cot^2 x dentro do parêntese:
2\cot^2 x + \csc^2 x = 2\cot^2 x + (1+\cot^2 x) = 3\cot^2 x +1,
portanto
f^{(3)}(x) = -2\csc^2 x\big(3\cot^2 x +1\big).

Passo 7

Agora calculo a quarta derivada f^{(4)}(x) derivando a expressão do Passo 6:
f^{(3)}(x) = -2\csc^2 x\big(3\cot^2 x +1\big).
Trato f^{(3)}(x)=-2\cdot A(x)\cdot B(x) com A(x)=\csc^2 x e B(x)=3\cot^2 x+1. Usando produto:
f^{(4)}(x) = -2\big(A'(x)B(x)+A(x)B'(x)\big).
Já temos A'(x)=-2\csc^2 x\cot x (Passo 4). Para B'(x):
B(x)=3\cot^2 x+1 \quad\Rightarrow\quad B'(x)=3\cdot 2\cot x\cdot (\cot x)' =6\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -6\cot x\csc^2 x.
Substituindo em f^{(4)}:
\begin{aligned} f^{(4)}(x) &= -2\Big((-2\csc^2 x\cot x)(3\cot^2 x+1) + \csc^2 x(-6\cot x\csc^2 x)\Big)\\[4pt] &= -2\Big(-2\csc^2 x\cot x(3\cot^2 x+1) -6\cot x\csc^4 x\Big)\\[4pt] &= 4\csc^2 x\cot x(3\cot^2 x+1) +12\cot x\csc^4 x. \end{aligned}]

Passo 8

Simplifico a expressão obtida em termos mais compactos. Factorizo 4\cot x\csc^2 x:
\begin{aligned} f^{(4)}(x) &=4\cot x\csc^2 x\big(3\cot^2 x+1\big) +12\cot x\csc^4 x\\[4pt] &=4\cot x\csc^2 x\Big(3\cot^2 x+1 +3\csc^2 x\Big). \end{aligned}
Usando \csc^2 x=1+\cot^2 x no parêntese:
3\cot^2 x+1 +3\csc^2 x =3\cot^2 x+1 +3(1+\cot^2 x)=6\cot^2 x+4=2(3\cot^2 x+2).
Logo
f^{(4)}(x) = 4\cot x\csc^2 x \cdot 2\big(3\cot^2 x+2\big) = 8\cot x\csc^2 x\big(3\cot^2 x+2\big).
Se preferir expandir em potências de \cot x, usando \csc^2 x=1+\cot^2 x novamente, obtém-se a forma polinomial
f^{(4)}(x)=24\cot^5 x +40\cot^3 x +16\cot x.]

Resposta

f^{(4)}(x)=8\cot x\csc^2 x\big(3\cot^2 x+2\big)

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