Encontre a solução geral da equação
Sugestão: A equação homogênea associada é de Euler.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. As informações relevantes são:
- A equação é válida para
. - A equação homogênea associada é
. - O termo do lado direito é
.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea. Procura-se soluções da forma
. Substituindo em
:
Simplificando pela potência
(que é não nula pois
) obtemos a equação característica
Calculemos:
Portanto
é uma raiz dupla. Para uma equação de Euler com raiz dupla
a solução geral homogênea é
Substituindo
temos
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para a parte não homogênea. Uma maneira conveniente e didática é fazer a mudança de variável
Vamos relacionar as derivadas. Pela regra da cadeia:
Como
e
, após simplificar chega-se à fórmula clássica para equações de Euler:
onde as derivadas de
são em relação a
. Substituindo na equação original:
O lado direito
fica, em termos de
,
Logo a equação transformada é a equação com coeficientes constantes
Passo 4
Resolver a equação transformada. O operador diferencial do lado esquerdo é
, pois
A solução homogênea corresponde a
, que é equivalente à
encontrada (pois
e
).
Para achar uma particular para o RHS
usamos um anzatz do tipo
onde
é um polinômio. Observação útil (e muito prática): aplicar
sobre
reduz a derivada do polinômio:
e portanto
Aplicando esse operador à nossa
temos
Queremos isto igual a
, então devemos ter
Integrando duas vezes:
Os termos
e
em
corresponderiam, ao multiplicarmos por
, a soluções da homogênea (
e
). Para obter uma particular simples podemos escolher
. Assim uma escolha conveniente é
e portanto
Passo 5
Voltar à variável
. Lembrando que
e
, obtemos
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias.