Calcule a integral
onde R é a região do primeiro quadrante interior a
4 e exterior a
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante entre os círculos
e
. Informação dada e perguntas claras:
- A função a integrar é
. - A região
é o anel (corona) no primeiro quadrante com raio interior e raio exterior . - Pergunta: calcular o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Aqui a função depende só de
, que em coordenadas polares é simplesmente o raio
. Isso simplifica muito a integral. Vamos lembrar a mudança:
com
e
o ângulo. O elemento de área em coordenadas polares vale
Explicação rápida do fator
: um pequeno anel angular com variações
e
tem área aproximada de base
vezes altura
, dando
.
Passo 3
Converter a integral para polares. Primeiro,
. A região
em polares: como é o primeiro quadrante,
varia de
a
; os raios vão de
até
. Portanto a integral fica
Passo 4
Separar a integração em
e
, pois o integrando é produto de função de
por função de
(no caso a parte em
é constante):
Aqui usei que
.
Passo 5
Calcular
. Usamos integração por partes: escolha
e
. Então
e
. A fórmula de partes dá
Avaliaremos entre
e
:
Passo 6
Voltar à expressão completa: já temos
. Então
Dica rápida para prova: quando a função depende só de
ou de
, sempre pense em coordenadas polares — reduz muito o trabalho!