Calcule a integral \int_{D} \int e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x d y onde R é a região do primeiro quadrante interior a x^{2}+y^{2}= 4 e exterior a \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1$.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\iint_{D} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy
onde D é a região do primeiro quadrante entre os círculos \;x^{2}+y^{2}=1\; e \;x^{2}+y^{2}=4\;. Informação dada e perguntas claras:
  • A função a integrar é e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • A região D é o anel (corona) no primeiro quadrante com raio interior 1 e raio exterior 2.
  • Pergunta: calcular o valor numérico da integral dupla sobre D.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Aqui a função depende só de \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que em coordenadas polares é simplesmente o raio r. Isso simplifica muito a integral. Vamos lembrar a mudança:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta o ângulo. O elemento de área em coordenadas polares vale
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do fator r: um pequeno anel angular com variações dr e d\theta tem área aproximada de base r\,d\theta vezes altura dr, dando r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Converter a integral para polares. Primeiro, \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r. A região D em polares: como é o primeiro quadrante, \theta varia de 0 a \pi/2; os raios vão de r=1 até r=2. Portanto a integral fica
\iint_{D} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{2} e^{r}\cdot r \;dr\;d\theta.

Passo 4

Separar a integração em \theta e r, pois o integrando é produto de função de r por função de \theta (no caso a parte em \theta é constante):
\int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{2} r e^{r}\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{\pi/2} d\theta\right)\left(\int_{1}^{2} r e^{r}\,dr\right) = \frac{\pi}{2}\int_{1}^{2} r e^{r}\,dr.
Aqui usei que \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \pi/2.

Passo 5

Calcular \int_{1}^{2} r e^{r}\,dr. Usamos integração por partes: escolha u=r e dv=e^{r}dr. Então du=dr e v=e^{r}. A fórmula de partes dá
\int r e^{r}\,dr = r e^{r} - \int e^{r}\,dr = r e^{r} - e^{r} + C = (r-1)e^{r} + C.
Avaliaremos entre r=1 e r=2:
\left[(r-1)e^{r}\right]_{1}^{2} = (2-1)e^{2} - (1-1)e^{1} = e^{2} - 0 = e^{2}.

Passo 6

Voltar à expressão completa: já temos \int_{1}^{2} r e^{r}\,dr = e^{2}. Então
\iint_{D} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy = \frac{\pi}{2}\cdot e^{2}.
Dica rápida para prova: quando a função depende só de \sqrt{x^{2}+y^{2}} ou de x^{2}+y^{2}, sempre pense em coordenadas polares — reduz muito o trabalho!

Resposta

\dfrac{\pi}{2}e^{2}

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