Calcule a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
.
Informações dadas:
O que se pede: calcular a derivada direcional de
em
na direção de
.
Passo 2
Qual método usar? Vou usar a fórmula da derivada direcional via gradiente porque:
- Para funções diferenciáveis de várias variáveis, a derivada direcional na direção unitária
é dada por produto escalar entre o gradiente e . - Isso evita fazer limite direto e é prático para calcular em prova.
Observação importante: quando falamos "na direção do vetor
" devemos usar o vetor unitário
que tem a mesma direção de
, ou seja
(Se alguém usar a definição sem normalizar, obteria um valor proporcional a
; a convenção padrão é normalizar.)
Passo 3
Apresento a fórmula que vou usar e explico o que cada coisa significa.
Fórmula da derivada direcional em direção unitária
:
Aqui:
-
é o vetor gradiente; cada componente é a derivada parcial de em relação àquela variável. -
é o produto escalar (soma dos produtos das componentes). -
é o vetor unitário na direção de .
Portanto preciso:
- calcular
; - avaliar essas derivadas no ponto
; - normalizar
para obter ; - fazer o produto escalar.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais (vou usar regras de cadeia e produto, explicando cada termo).
Defina
e
. Então
Derivada parcial em relação a
:
- Para
: por regra da cadeia,
Logo a contribuição é
.
- Para
: é produto de por . Use produto e regra da cadeia para o exponencial:
E
. Então
Como
, temos
Derivada parcial em relação a
:
- Para
:
então contribuição
.
- Para
:
logo
Assim
Derivada parcial em relação a
:
- Para
:
então contribuição
.
- Para
: produto, derivando dá , mais termo do exponencial:
logo
Então
Passo 5
Agora avalio as parciais no ponto
. Primeiro calcule valores auxiliares em
:
Substituindo nas fórmulas:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto o gradiente em
é
Passo 6
Agora normalizo
. Cálculo da norma:
Então o vetor unitário na direção de
é
Passo 7
Faço o produto escalar para obter a derivada direcional:
Calculando o produto escalar:
Interpretando: a derivada direcional é negativa, o que significa que, movendo-se a partir de
na direção
(normalizada), a função diminui inicialmente com taxa
.