O volume de um cone circular reto é dado por
. Em um instante, o raio ® e a altura (h) do cone são
e
. Sabe-se que, neste instante:
- O raio cresce a uma taxa de
.
- O volume cresce a uma taxa de
.
Qual é a taxa de variação da altura do cone
neste instante?
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação da altura do cone
no instante em que:
As informações dadas são:
Também sabemos a fórmula do volume do cone, que será usada (não vou resolver nada neste passo, só listei o que foi dado).
Passo 2
Escrevemos a relação entre as variáveis oferecida pelo enunciado. A fórmula do volume do cone é
Aqui:
-
é o volume do cone (em ), -
é o raio da base (em ), -
é a altura (em ).
Essa é a equação que relaciona, e no instante considerado.
Passo 3
Vamos diferenciar implicitamente a equação do volume em relação ao tempo
. Como
,
e
dependem de
, usamos a derivada total:
Explico a técnica: ao derivar o lado direito temos um produto entre
e
. Para derivar um produto
usamos a regra do produto:
No nosso caso
e
. Além disso, para
usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia obtemos:
Esta é a relação entre
,
e
. Nosso objetivo é isolar
.
Passo 5
Isolamos
. Primeiro multiplicamos ambos os lados por
:
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos:
,
,
,
. Observação: ao substituir
a fator
cancela com
:
Logo a equação fica
Passo 6
Calculamos os termos numéricos:
e
Portanto
Isolando
:
Passo 7
Interpretando o resultado:
significa que a altura está diminuindo no instante considerado. Em unidades, isto é
(usei vírgula decimal conforme o costume brasileiro). Não se assuste — o raio está crescendo e o volume cresce a uma taxa fixa; para que a fórmula do volume seja satisfeita naquele instante, a altura precisa diminuir nesse ritmo.