O volume de um cone circular reto é dado por V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h. Em um instante, o raio ® e a altura (h) do cone são \mathrm{r}=20 \mathrm{~cm} e \mathrm{h}=30 \mathrm{~cm}. Sabe-se que, neste instante:
  • O raio cresce a uma taxa de \frac{d r}{d t}=1 \mathrm{~cm} / \mathrm{seg}.
  • O volume cresce a uma taxa de \frac{d V}{d t}=\frac{200}{3} \pi \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{seg}.
Qual é a taxa de variação da altura do cone \left(\frac{d h}{d t}\right) neste instante?

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação da altura do cone \left(\dfrac{dh}{dt}\right) no instante em que:
r=20\\ \mathrm{cm},\qquad h=30\\ \mathrm{cm}.
As informações dadas são:
\frac{dr}{dt}=1\\ \mathrm{cm/s},
\frac{dV}{dt}=\frac{200}{3}\pi\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
Também sabemos a fórmula do volume do cone, que será usada (não vou resolver nada neste passo, só listei o que foi dado).

Passo 2

Escrevemos a relação entre as variáveis oferecida pelo enunciado. A fórmula do volume do cone é
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.
Aqui:
  • \;V\; é o volume do cone (em \mathrm{cm}^3),
  • \;r\; é o raio da base (em \mathrm{cm}),
  • \;h\; é a altura (em \mathrm{cm}).
    Essa é a equação que relaciona V, r e h no instante considerado.

Passo 3

Vamos diferenciar implicitamente a equação do volume em relação ao tempo t. Como V, r e h dependem de t, usamos a derivada total:
\frac{d}{dt}\!\left(V\right)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{3}\pi r^{2}h\right).
Explico a técnica: ao derivar o lado direito temos um produto entre r^{2} e h. Para derivar um produto u(t)v(t) usamos a regra do produto:
\frac{d}{dt}[u v]=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dt}.
No nosso caso u=r^{2} e v=h. Além disso, para \frac{d}{dt}(r^{2}) usamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}(r^{2})=2r\frac{dr}{dt}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia obtemos:
\frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}\pi\left( \frac{d}{dt}(r^{2})\cdot h + r^{2}\cdot\frac{dh}{dt} \right) =\frac{1}{3}\pi\left( 2r\frac{dr}{dt}\,h + r^{2}\frac{dh}{dt} \right).
Esta é a relação entre \dfrac{dV}{dt}, \dfrac{dr}{dt} e \dfrac{dh}{dt}. Nosso objetivo é isolar \dfrac{dh}{dt}.

Passo 5

Isolamos \dfrac{dh}{dt}. Primeiro multiplicamos ambos os lados por \dfrac{3}{\pi}:
\frac{3}{\pi}\frac{dV}{dt}=2r\frac{dr}{dt}\,h + r^{2}\frac{dh}{dt}.
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos: \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{200}{3}\pi, r=20, h=30, \dfrac{dr}{dt}=1. Observação: ao substituir \dfrac{dV}{dt} a fator \dfrac{3}{\pi} cancela com \dfrac{200}{3}\pi:
\frac{3}{\pi}\cdot\frac{200}{3}\pi = 200.
Logo a equação fica
200 = 2\cdot 20\cdot 1\cdot 30 + 20^{2}\frac{dh}{dt}.

Passo 6

Calculamos os termos numéricos:
2\cdot 20\cdot 1\cdot 30 = 2\cdot 600 = 1200,
e
20^{2}=400.
Portanto
200 = 1200 + 400\frac{dh}{dt}.
Isolando \dfrac{dh}{dt}:
400\frac{dh}{dt}=200-1200=-1000,
\frac{dh}{dt}=\frac{-1000}{400}=-\frac{1000}{400}=-\frac{5}{2}.

Passo 7

Interpretando o resultado: \dfrac{dh}{dt}=-\dfrac{5}{2} significa que a altura está diminuindo no instante considerado. Em unidades, isto é -2{,}5\\ \mathrm{cm/s} (usei vírgula decimal conforme o costume brasileiro). Não se assuste — o raio está crescendo e o volume cresce a uma taxa fixa; para que a fórmula do volume seja satisfeita naquele instante, a altura precisa diminuir nesse ritmo.

Resposta

-2{,}5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}

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