Calcule a integral.
\int \frac{11 x+17}{2 x^{2}+7 x-4} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo e nos dá o numerador e o denominador explícitos:
\int \frac{11x+17}{2x^{2}+7x-4}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{numerador} = 11x+17,\qquad \text{denominador} = 2x^{2}+7x-4.
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{11x+17}{2x^{2}+7x-4}.

Passo 2

Vamos observar a forma do denominador e tentar fatorá-lo, porque denominações quadráticas que se fatoram em fatores lineares normalmente permitem decomposição em frações parciais — um caminho direto para integrar.
Calcule o discriminante da quadrática 2x^{2}+7x-4:
\Delta = b^{2}-4ac = 7^{2}-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81.
Como \Delta=81 é um quadrado perfeito, a quadrática tem duas raízes reais racionais. As raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-7\pm 9}{4}.
Portanto
x=\frac{-7+9}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\qquad x=\frac{-7-9}{4}=\frac{-16}{4}=-4.
Assim podemos fatorar o denominador como produto de fatores lineares. Verificando a forma conveniente:
2x^{2}+7x-4=(2x-1)(x+4).

Passo 3

Com o denominador fatorado em fatores lineares distintos, proponho a decomposição em frações parciais do tipo
\frac{11x+17}{(2x-1)(x+4)}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x+4},
onde A e B são constantes que devemos determinar. Essa é uma técnica padrão: representamos a fração racional como soma de termos simples cujas integrais conhecemos.
Multiplicando ambos os lados por (2x-1)(x+4) obtemos a identidade polinomial
11x+17 = A(x+4)+B(2x-1).

Passo 4

Expandimos o lado direito e agrupamos coeficientes em x\): \[A(x+4)+B(2x-1)=Ax+4A+2Bx-B=(A+2B)x+(4A-B).
Igualando coeficientes do polinômio à esquerda 11x+17 obtemos o sistema linear em A e B:
\begin{cases} A+2B=11,\\[4pt] 4A-B=17. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação (A=11-2B]. Substituindo na segunda:
4(11-2B)-B=17 \Rightarrow 44-8B-B=17 \Rightarrow 44-9B=17.
Logo
9B=44-17=27 \Rightarrow B=3.
E então
A=11-2B=11-2\cdot 3=11-6=5.]

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição temos
\frac{11x+17}{(2x-1)(x+4)}=\frac{5}{2x-1}+\frac{3}{x+4}.
Portanto a integral original separa em duas integrais mais simples:
\int \frac{11x+17}{2x^{2}+7x-4}\,dx =\int \frac{5}{2x-1}\,dx+\int \frac{3}{x+4}\,dx.
Agora aplicamos a fórmula básica de integração:
seja uma constante a\neq 0 e b constante, então
\int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C.
Resumo da demonstração curta dessa fórmula: com u=ax+b temos du=a\,dx, então \int \frac{1}{ax+b}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{a}=\frac{1}{a}\ln|u|+C.
Usando essa regra nas duas parcelas:
\int \frac{5}{2x-1}\,dx = 5\int \frac{1}{2x-1}\,dx = 5\cdot\frac{1}{2}\ln|2x-1|=\frac{5}{2}\ln|2x-1|.
\int \frac{3}{x+4}\,dx = 3\int \frac{1}{x+4}\,dx = 3\ln|x+4|.

Passo 6

Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada final:
\int \frac{11x+17}{2x^{2}+7x-4}\,dx=\frac{5}{2}\ln|2x-1|+3\ln|x+4|+C.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}\ln|2x-1|+3\ln|x+4|+C

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