Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo e nos dá o numerador e o denominador explícitos:
Informações relevantes fornecidas:
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional, ou seja, uma expressão
tal que
.
Passo 2
Vamos observar a forma do denominador e tentar fatorá-lo, porque denominações quadráticas que se fatoram em fatores lineares normalmente permitem decomposição em frações parciais — um caminho direto para integrar.
Calcule o discriminante da quadrática
:
Como
é um quadrado perfeito, a quadrática tem duas raízes reais racionais. As raízes são
Portanto
Assim podemos fatorar o denominador como produto de fatores lineares. Verificando a forma conveniente:
Passo 3
Com o denominador fatorado em fatores lineares distintos, proponho a decomposição em frações parciais do tipo
onde
e
são constantes que devemos determinar. Essa é uma técnica padrão: representamos a fração racional como soma de termos simples cujas integrais conhecemos.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 4
Expandimos o lado direito e agrupamos coeficientes em
Igualando coeficientes do polinômio à esquerda
obtemos o sistema linear em
e
:
Resolvendo: da primeira equação (A=11-2B]. Substituindo na segunda:
Logo
E então
]
Logo
E então
Passo 5
Substituindo
e
na decomposição temos
Portanto a integral original separa em duas integrais mais simples:
Agora aplicamos a fórmula básica de integração:
seja uma constante e
constante, então
seja uma constante
Resumo da demonstração curta dessa fórmula: com
temos
, então
.
Usando essa regra nas duas parcelas:
Passo 6
Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração
, obtemos a antiderivada final: