Encontre a equação de um círculo que seja tangente ao gráfico da função dada por f(x)=\cos (x / 2) no ponto (4 \pi / 3, f(4 \pi / 3))=(4 \pi / 3,-1 / 2), e tal que a função semicircunferência tenha, naquele ponto, a mesma concavidade que f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\; e o ponto de tangência \;\left(\dfrac{4\pi}{3},f\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\right)=\left(\dfrac{4\pi}{3},-\dfrac{1}{2}\right)\;.
O que se pede: encontrar a equação de um círculo que seja tangente ao gráfico de f nesse ponto e tal que a semicircunferência (o ramo de círculo visto como função y(x)) tenha, naquele ponto, a mesma concavidade que f.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar: o ponto de tangência \left(\dfrac{4\pi}{3},-\dfrac{1}{2}\right) e a expressão explícita de f. A concavidade no ponto será obtida através de f'' (segunda derivada) — vamos calcular f' e f'' nesse ponto para usar na condição de tangência e para igualar a concavidade/curvatura.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f(x)=\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) e avaliá‑las em x_0=\dfrac{4\pi}{3}.
Derivada primeira: f'(x) = -\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Derivada segunda: f''(x) = -\tfrac{1}{4}\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Agora avaliaremos em x_0=\dfrac{4\pi}{3}. Note que \dfrac{x_0}{2}=\dfrac{2\pi}{3}, e usamos \sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}. Assim:
f'\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right) = -\tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{4},
f''\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right) = -\tfrac{1}{4}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{8}.
Interpretação: f'(x_0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{4} é a inclinação da tangente e f''(x_0)=\dfrac{1}{8}>0 indica que f é côncava para cima no ponto.

Passo 3

Explicação do conceito que vamos usar: o círculo que “encaixa” à função naquele ponto com mesma tangente e mesma curvatura é o círculo osculador. A curvatura \kappa de uma curva y=f(x) em um ponto é dada pela fórmula
\kappa = \dfrac{f''(x)}{\left(1+\big(f'(x)\big)^2\right)^{3/2}}.
Aqui \kappa é um número positivo quando a curva é côncava para cima (como no nosso ponto), e o raio de curvatura R do círculo osculador é R=\dfrac{1}{\kappa}.
Vamos calcular \kappa em x_0. Primeiro calculemos 1+\big(f'(x_0)\big)^2:
\big(f'(x_0)\big)^2 = \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \dfrac{3}{16},
1+\big(f'(x_0)\big)^2 = 1+\dfrac{3}{16} = \dfrac{19}{16}.
Agora
\left(1+\big(f'(x_0)\big)^2\right)^{3/2} = \left(\dfrac{19}{16}\right)^{3/2} = \dfrac{19^{3/2}}{64}.
Assim a curvatura é
\kappa = \dfrac{f''(x_0)}{\left(1+\big(f'(x_0)\big)^2\right)^{3/2}} = \dfrac{\tfrac{1}{8}}{\dfrac{19^{3/2}}{64}} = \dfrac{8}{19^{3/2}}.
Portanto o raio do círculo osculador é
R = \dfrac{1}{\kappa} = \dfrac{19^{3/2}}{8}.

Passo 4

Agora precisamos da posição do centro do círculo. Geometricamente, o centro do círculo osculador fica ao longo da normal principal à curva, a uma distância R do ponto de tangência, na direção do vetor normal unitário. Para uma curva y=f(x) a unidade tangente é proporcional a (1,f') e um vetor normal conveniente (apontando para cima quando \kappa>0) é (-f',1). O vetor normal unitário é
\mathbf{N} = \dfrac{(-f'(x_0),\,1)}{\sqrt{1+\big(f'(x_0)\big)^2}}.
Vamos calcular \mathbf{N} numericamente: já temos f'(x_0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}. Então -f'(x_0)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}. E \sqrt{1+\big(f'(x_0)\big)^2}=\sqrt{\dfrac{19}{16}}=\dfrac{\sqrt{19}}{4}. Assim
\mathbf{N}=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4},\,1\right)}{\dfrac{\sqrt{19}}{4}} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}},\,\dfrac{4}{\sqrt{19}}\right).
Como f''(x_0)>0 temos \kappa>0, então o centro do círculo fica no sentido positivo de \mathbf{N} a partir do ponto P=(x_0,y_0). Logo as coordenadas do centro são
(x_c,y_c) = (x_0,y_0) + R\,\mathbf{N}.

Passo 5

Agora substituímos R e \mathbf{N}. Primeira componente:
x_c = x_0 + R\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}.
Segunda componente:
y_c = y_0 + R\cdot \dfrac{4}{\sqrt{19}}.
Como R=\dfrac{19^{3/2}}{8}, notamos que \dfrac{R}{\sqrt{19}}=\dfrac{19^{3/2}}{8\sqrt{19}}=\dfrac{19}{8}. Assim as expressões simplificam para:
x_c = x_0 + \dfrac{19}{8}\sqrt{3},\qquad y_c = y_0 + \dfrac{19}{8}\cdot 4.
Substituindo x_0=\dfrac{4\pi}{3} e y_0=-\dfrac{1}{2}:
x_c = \dfrac{4\pi}{3} + \dfrac{19\sqrt{3}}{8},
y_c = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{19\cdot 4}{8} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{19}{2} = \dfrac{18}{2} = 9.
Portanto o centro é \left(x_c,y_c\right)=\left(\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{19\sqrt{3}}{8},\,9\right).
Comentário útil: o fato de y_c=9 saiu bem redondinho — bom sinal de que as contas estão corretas.

Passo 6

Vamos verificar o raio calculando a distância do centro ao ponto e encontrar R^2 de forma explícita (checa de consistência). A diferença horizontal é \Delta x = \dfrac{19\sqrt{3}}{8} e a vertical é \Delta y = 9 -\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{19}{2}. Então
R^2 = \left(\dfrac{19\sqrt{3}}{8}\right)^2 + \left(\dfrac{19}{2}\right)^2 = \dfrac{361\cdot 3}{64} + \dfrac{361}{4} = \dfrac{1083}{64} + \dfrac{5776}{64} = \dfrac{6859}{64}.
Observe que 6859=19^3, logo
R^2 = \dfrac{19^3}{64},\qquad R=\dfrac{19^{3/2}}{8},
o que bate com o valor obtido pela curvatura no Passo 3.

Passo 7

Finalmente escrevemos a equação do círculo com centro \left(\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{19\sqrt{3}}{8},9\right) e raio \sqrt{\dfrac{6859}{64}}. A equação é
\left(x-\left(\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{19\sqrt{3}}{8}\right)\right)^{2} + (y-9)^{2} = \dfrac{6859}{64}.

Resposta

\left(x-\left(\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{19\sqrt{3}}{8}\right)\right)^{2} + (y-9)^{2} = \dfrac{6859}{64}

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