Encontre a equação de um círculo que seja tangente ao gráfico da função dada por
no ponto
, e tal que a função semicircunferência tenha, naquele ponto, a mesma concavidade que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto de tangência
.
O que se pede: encontrar a equação de um círculo que seja tangente ao gráfico de nesse ponto e tal que a semicircunferência (o ramo de círculo visto como função
) tenha, naquele ponto, a mesma concavidade que
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar: o ponto de tangência e a expressão explícita de
. A concavidade no ponto será obtida através de
(segunda derivada) — vamos calcular
e
nesse ponto para usar na condição de tangência e para igualar a concavidade/curvatura.
O que se pede: encontrar a equação de um círculo que seja tangente ao gráfico de
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar: o ponto de tangência
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá‑las em
.
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Agora avaliaremos em
. Note que
, e usamos
e
. Assim:
Interpretação:
é a inclinação da tangente e
indica que
é côncava para cima no ponto.
Passo 3
Explicação do conceito que vamos usar: o círculo que “encaixa” à função naquele ponto com mesma tangente e mesma curvatura é o círculo osculador. A curvatura
de uma curva
em um ponto é dada pela fórmula
Aqui
é um número positivo quando a curva é côncava para cima (como no nosso ponto), e o raio de curvatura
do círculo osculador é
.
Vamos calcular
em
. Primeiro calculemos
:
Agora
Assim a curvatura é
Portanto o raio do círculo osculador é
Passo 4
Agora precisamos da posição do centro do círculo. Geometricamente, o centro do círculo osculador fica ao longo da normal principal à curva, a uma distância
do ponto de tangência, na direção do vetor normal unitário. Para uma curva
a unidade tangente é proporcional a
e um vetor normal conveniente (apontando para cima quando
) é
. O vetor normal unitário é
Vamos calcular
numericamente: já temos
. Então
. E
. Assim
Como
temos
, então o centro do círculo fica no sentido positivo de
a partir do ponto
. Logo as coordenadas do centro são
Passo 5
Agora substituímos
e
. Primeira componente:
Segunda componente:
Como
, notamos que
. Assim as expressões simplificam para:
Substituindo
e
:
Portanto o centro é
Comentário útil: o fato de
saiu bem redondinho — bom sinal de que as contas estão corretas.
Passo 6
Vamos verificar o raio calculando a distância do centro ao ponto e encontrar
de forma explícita (checa de consistência). A diferença horizontal é
e a vertical é
. Então
Observe que
, logo
o que bate com o valor obtido pela curvatura no Passo 3.
Passo 7
Finalmente escrevemos a equação do círculo com centro
e raio
. A equação é