Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
Informações dadas no enunciado:
Passo 2
Decidindo o método (explicação didática): aqui temos uma razão de polinômios, com o grau do numerador menor que o do denominador (
), então é apropriado usar decomposição em frações parciais. A decomposição em frações parciais transforma a função racional numa soma de termos simples do tipo
(ou
), cuja integral é fácil:
. Vou aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 3
Fatorando o denominador para ver os pólos simples: o denominador é
Logo podemos tentar escrever o integrando como soma de três frações simples:
onde
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Multiplico ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Agora vou expandir os termos do lado direito e agrupar coeficientes de potências de
.
Passo 5
Calculo cada termo expandido:
Somando:
Passo 6
Comparo coeficientes com o polinômio do lado esquerdo
Da terceira equação vem diretamente
temos
. Substituindo
na primeira equação dá
, ou seja
.]
Passo 7
Resolvo o sistema simples para
Somando as duas equações:
. Substituindo em
obtem
.
Portanto os coeficientes são
Passo 8
Reescrevo o integrando com a decomposição encontrada:
Agora integro termo a termo. Lembro da fórmula básica: para constante
e
real,
Passo 9
Integro cada termo:
Somando as três integrais e incluindo a constante de integração
, obtenho