Calcule a integral.
\int \frac{2 x^{2}-9 x-9}{x^{3}-9 x} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int \frac{2x^{2}-9x-9}{x^{3}-9x}\,dx.
Informações dadas no enunciado:
\text{integrando } \frac{2x^{2}-9x-9}{x^{3}-9x},\qquad \text{integral indefinida (com constante de integração).}çã

Passo 2

Decidindo o método (explicação didática): aqui temos uma razão de polinômios, com o grau do numerador menor que o do denominador ( \deg 2 < \deg 3), então é apropriado usar decomposição em frações parciais. A decomposição em frações parciais transforma a função racional numa soma de termos simples do tipo \dfrac{A}{x-a} (ou \dfrac{A}{x}), cuja integral é fácil: \int \dfrac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C. Vou aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 3

Fatorando o denominador para ver os pólos simples: o denominador é
x^{3}-9x = x(x^{2}-9) = x(x-3)(x+3).
Logo podemos tentar escrever o integrando como soma de três frações simples:
\frac{2x^{2}-9x-9}{x(x-3)(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{x+3},
onde A, B e C são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por x(x-3)(x+3) para obter uma identidade polinomial:
2x^{2}-9x-9 = A(x-3)(x+3) + Bx(x+3) + Cx(x-3).
Agora vou expandir os termos do lado direito e agrupar coeficientes de potências de x.

Passo 5

Calculo cada termo expandido:
A(x-3)(x+3) = A(x^{2}-9) = Ax^{2} - 9A,
Bx(x+3) = B(x^{2}+3x) = Bx^{2} + 3Bx,
Cx(x-3) = C(x^{2}-3x) = Cx^{2} - 3Cx.
Somando:
Ax^{2}-9A + Bx^{2}+3Bx + Cx^{2}-3Cx = (A+B+C)x^{2} + (3B-3C)x + (-9A).

Passo 6

Comparo coeficientes com o polinômio do lado esquerdo 2x^{2}-9x-9\). Igualando coeficientes de \(x^{2}\), \(x\) e termo constante obtenho o sistema: \[\begin{cases} A + B + C = 2,\\[4pt] 3B - 3C = -9,\\[4pt] -9A = -9. \end{cases}
Da terceira equação vem diretamente A = 1\]. Dividindo a segunda equação por \(3 temos B - C = -3. Substituindo A=1 na primeira equação dá 1 + B + C = 2, ou seja B + C = 1.]

Passo 7

Resolvo o sistema simples para B\) e \(C\): \[\begin{cases} B + C = 1,\\[4pt] B - C = -3. \end{cases}
Somando as duas equações: 2B = -2\], então \(B = -1. Substituindo em B + C = 1 obtem C = 2.
Portanto os coeficientes são
A = 1,\qquad B = -1,\qquad C = 2.]

Passo 8

Reescrevo o integrando com a decomposição encontrada:
\frac{2x^{2}-9x-9}{x^{3}-9x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3}.
Agora integro termo a termo. Lembro da fórmula básica: para constante k e a real,
\int \frac{k}{x-a}\,dx = k\ln|x-a| + C.

Passo 9

Integro cada termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|,\qquad \int -\frac{1}{x-3}\,dx = -\ln|x-3|,\qquad \int \frac{2}{x+3}\,dx = 2\ln|x+3|.
Somando as três integrais e incluindo a constante de integração C, obtenho
\int \frac{2x^{2}-9x-9}{x^{3}-9x}\,dx = \ln|x| - \ln|x-3| + 2\ln|x+3| + C.

Resposta

\ln|x| - \ln|x-3| + 2\ln|x+3| + C

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