Calcule a integral.
\int \frac{1+\cos ^{2} x}{1-\cos ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1+\cos^{2}x}{1-\cos^{2}x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica racional. Vamos usar a identidade pitagórica e expressões em termos de \csc x e \cot x.

Passo 2

Usamos a identidade
1 - \cos^{2}x = \sin^{2}x,
então
\frac{1+\cos^{2}x}{1-\cos^{2}x} = \frac{1+\cos^{2}x}{\sin^{2}x} = \frac{1}{\sin^{2}x} + \frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x} = \csc^{2}x + \cot^{2}x.

Passo 3

Sabemos que
\cot^{2}x = \csc^{2}x - 1.
Logo
\csc^{2}x + \cot^{2}x = \csc^{2}x + (\csc^{2}x - 1) = 2\,\csc^{2}x - 1.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int \bigl(2\,\csc^{2}x - 1\bigr)\,dx = 2\int \csc^{2}x\,dx \;-\;\int 1\,dx.
Como \int \csc^{2}x\,dx = -\cot x, obtemos
2(-\cot x) - x + C = -2\cot x - x + C.

Resposta

-x - 2\cot x + C

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