Calcule a integral.
\int \frac{d x}{x \sqrt{2 x-25}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{x\sqrt{2x-25}}.
O conteúdo aqui é integração de uma função que envolve raiz quadrada em x e um termo racional 1/x. Para resolver, vamos usar uma substituição que elimine a raiz quadrada.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{2x - 25}.
Então
2x - 25 = u^2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{u^2 + 25}{2}, \quad dx = u\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{dx}{x\sqrt{2x-25}} = \int \frac{u\,du}{\bigl(\frac{u^2 + 25}{2}\bigr)\,u} = 2 \int \frac{du}{u^2 + 25}.

Passo 4

Usamos a fórmula de arco-tangente:
\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{a}\Bigr) + C.
Aqui a = 5, pois 25 = 5^2. Logo,
2 \int \frac{du}{u^2 + 5^2} = 2 \cdot \frac{1}{5} \arctan\!\Bigl(\frac{u}{5}\Bigr) + C = \frac{2}{5} \arctan\!\Bigl(\frac{u}{5}\Bigr) + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, lembrando que u = \sqrt{2x - 25}, concluímos
\int \frac{dx}{x\sqrt{2x-25}} = \frac{2}{5} \arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{2x - 25}}{5}\Bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5} \arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{2x - 25}}{5}\Bigr) + C

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