Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é uma função racional cuja expressão é
. - O denominador fatorou-se (visivelmente) como
. - A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida.
Passo 2
Vamos usar decomposição em frações parciais (método clássico para racionais). Primeiro verifico que a fração é própria: o grau do numerador é
e o do denominador é
, logo está própria — seguimos sem divisão polinomial.
Como o denominador tem um fator linear
e um fator quadrático irreduzível
elevado ao quadrado, a forma geral da decomposição é:
Explico por que: para cada fator linear
usamos uma constante
; para cada fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear
; como o quadrático está ao quadrado, precisamos dos dois termos
e
.
Passo 3
Multiplico ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Agora eu vou expandir cada termo separadamente. Primeiro,
então
Em seguida,
E finalmente
Somando tudo obtemos (agrupando por potências de
):
Portanto a identidade polinomial é
Passo 4
Igualo coeficientes de termos correspondentes (porque a identidade vale para todo
):
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Agora resolvo essas equações passo a passo:
- Da última equação obtém-se
- Usando
temos - Já sabemos
- Da equação
vem , logo - Finalmente,
dá , assim
Logo os coeficientes são:
Passo 5
Substituindo esses valores na decomposição obtemos
Para clareza, escrevo como soma de três parcelas:
Passo 6
Agora integro termo a termo. Cada integral será detalhada.
- Integral de
:
Explicação rápida:
.
- Integral de
:
Explicação:
.
- Integral de
: aqui usamos substituição. Seja . Então , ou seja . Reescrevendo:
Substituindo
obtemos
Integrando
temos
. Então
Voltando à variável
:
, portanto o resultado é
.
Passo 7
Somando as três primitivas e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral: