Calcule a integral: \int \frac{2 x^{4}+3 x^{3}+3 x+2}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{4}+3 x^{3}+3 x+2}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é uma função racional cuja expressão é \dfrac{2 x^{4}+3 x^{3}+3 x+2}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
  • O denominador fatorou-se (visivelmente) como \,x\cdot (x^{2}+1)^{2}.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida.

Passo 2

Vamos usar decomposição em frações parciais (método clássico para racionais). Primeiro verifico que a fração é própria: o grau do numerador é 4 e o do denominador é 5, logo está própria — seguimos sem divisão polinomial.
Como o denominador tem um fator linear x e um fator quadrático irreduzível (x^{2}+1) elevado ao quadrado, a forma geral da decomposição é:
\frac{2 x^{4}+3 x^{3}+3 x+2}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}+\frac{D x+E}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
Explico por que: para cada fator linear x usamos uma constante A/x; para cada fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear Bx+C; como o quadrático está ao quadrado, precisamos dos dois termos (Bx+C)/(x^2+1) e (Dx+E)/(x^2+1)^2.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por x\left(x^{2}+1\right)^{2} para obter uma identidade polinomial:
2 x^{4}+3 x^{3}+3 x+2 = A\,(x^{2}+1)^{2} + (B x+C)\,x\,(x^{2}+1) + (D x+E)\,x.
Agora eu vou expandir cada termo separadamente. Primeiro,
(x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1,
então
A\,(x^{2}+1)^{2}=A x^{4}+2A x^{2}+A.
Em seguida,
(B x+C)\,x\,(x^{2}+1)=(B x+C)(x^{3}+x)=B x^{4}+B x^{2}+C x^{3}+C x.
E finalmente
(D x+E)\,x=D x^{2}+E x.
Somando tudo obtemos (agrupando por potências de x):
A x^{4}+B x^{4} + C x^{3} + (2A + B + D) x^{2} + (C + E) x + A.
Portanto a identidade polinomial é
2 x^{4}+3 x^{3}+0 x^{2}+3 x+2 = (A+B) x^{4} + C x^{3} + (2A+B+D) x^{2} + (C+E) x + A.

Passo 4

Igualo coeficientes de termos correspondentes (porque a identidade vale para todo x):
  • Coeficiente de x^{4}: \;A+B=2.
  • Coeficiente de x^{3}: \;C=3.
  • Coeficiente de x^{2}: \;2A+B+D=0.
  • Coeficiente de x^{1}: \;C+E=3.
  • Termo constante: \;A=2.
Agora resolvo essas equações passo a passo:
  • Da última equação obtém-se \;A=2.
  • Usando \;A+B=2 temos \;B=2-A=2-2=0.
  • Já sabemos \;C=3.
  • Da equação C+E=3 vem \;3+E=3, logo \;E=0.
  • Finalmente, 2A+B+D=0 2\cdot 2 + 0 + D=0, assim \;D=-4.
Logo os coeficientes são:
A=2,\quad B=0,\quad C=3,\quad D=-4,\quad E=0.

Passo 5

Substituindo esses valores na decomposição obtemos
\frac{2 x^{4}+3 x^{3}+3 x+2}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}+1}+\frac{-4x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
Para clareza, escrevo como soma de três parcelas:
\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}+1}-\frac{4x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.

Passo 6

Agora integro termo a termo. Cada integral será detalhada.
  1. Integral de \dfrac{2}{x}:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\int \frac{1}{x}\,dx = 2\ln|x|.
Explicação rápida: \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
  1. Integral de \dfrac{3}{x^{2}+1}:
\int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx = 3\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = 3\arctan x.
Explicação: \dfrac{d}{dx}(\arctan x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  1. Integral de -\dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}: aqui usamos substituição. Seja \;u=x^{2}+1. Então \;du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{du}{2}. Reescrevendo:
\int -\frac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \int -\frac{4x}{u^{2}}\,dx.
Substituindo x\,dx=\dfrac{du}{2} obtemos
\int -\frac{4x}{u^{2}}\,dx = \int -\frac{4}{u^{2}}\cdot \frac{du}{2} = \int -\frac{2}{u^{2}}\,du.
Integrando \;u^{-2} temos \int u^{-2}\,du = -u^{-1}. Então
\int -\frac{2}{u^{2}}\,du = -2\cdot(-u^{-1}) = 2u^{-1} = \frac{2}{u}.
Voltando à variável x: \;u=x^{2}+1, portanto o resultado é \dfrac{2}{x^{2}+1}.

Passo 7

Somando as três primitivas e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
2\ln|x| + 3\arctan x + \frac{2}{x^{2}+1} + C.

Resposta

\;2\ln|x|+3\arctan x+\dfrac{2}{x^{2}+1}+C

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