Sabendo que f^{\prime}(x)=x^{5 / 3} \ln x e f(e)=\frac{1}{64}-\frac{1}{64} e^{8 / 3}, calcule f(1)
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \frac{3}{8} e-\frac{9}{64}
\bigcirc b. -\frac{9}{64}-\frac{15}{64} e^{8 / 3}
\bigcirc c. 1
\bigcirc d. -\frac{1}{8}-\frac{1}{4} e^{8 / 3}
\bigcirc e. 0

Passo 1

O enunciado dá que \,f'(x)=x^{5/3}\ln x e que \,f(e)=\dfrac{1}{64}-\dfrac{1}{64}e^{8/3}. A pergunta é: calcular \,f(1).
Informações relevantes:
\bullet derivada conhecida \,f'(x)=x^{5/3}\ln x.
\bullet valor dado \,f(e)=\dfrac{1}{64}-\dfrac{1}{64}e^{8/3}.
\bullet queremos o valor \,f(1).

Passo 2

Vamos usar a propriedade básica entre derivada e integral: o Teorema Fundamental do Cálculo nos dá
f(e)-f(1)=\int_{1}^{e} f'(x)\,dx.
Isolando f(1) obtemos
f(1)=f(e)-\int_{1}^{e} f'(x)\,dx.
Então a tarefa reduz-se a calcular a integral \displaystyle \int_{1}^{e} x^{5/3}\ln x\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int x^{5/3}\ln x\,dx vamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv. Uma escolha natural aqui é u=\ln x (já que sua derivada simplifica) e dv=x^{5/3}dx.

Passo 4

Calculemos du e v:
u=\ln x \quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{x}\,dx.
dv=x^{5/3}\,dx \quad\Rightarrow\quad v=\int x^{5/3}\,dx=\frac{x^{8/3}}{8/3}=\frac{3}{8}x^{8/3}.
(Expliquei: para integrar x^{\alpha} usamos \int x^{\alpha}dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} quando \alpha\neq-1. Aqui \alpha=5/3, então \alpha+1=8/3.)

Passo 5

Aplicando integração por partes:
\int x^{5/3}\ln x\,dx = u v - \int v\,du = \frac{3}{8}x^{8/3}\ln x - \int \frac{3}{8}x^{8/3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando da segunda parcela:
\frac{3}{8}x^{8/3}\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{8}x^{5/3}.
Então
\int x^{5/3}\ln x\,dx = \frac{3}{8}x^{8/3}\ln x - \frac{3}{8}\int x^{5/3}\,dx.
E já sabemos \int x^{5/3}\,dx=\dfrac{3}{8}x^{8/3}. Portanto
\int x^{5/3}\ln x\,dx = \frac{3}{8}x^{8/3}\ln x - \frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8}x^{8/3} = \frac{3}{8}x^{8/3}\ln x - \frac{9}{64}x^{8/3} + C.
Chamemos essa primitiva de F(x):
F(x)=\frac{3}{8}x^{8/3}\ln x - \frac{9}{64}x^{8/3}.

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida usando F:
\int_{1}^{e} x^{5/3}\ln x\,dx = F(e)-F(1).
Calculemos F(e) e F(1) separadamente. Usando \ln e=1 e \ln 1=0:
F(e)=\frac{3}{8}e^{8/3}\cdot 1 - \frac{9}{64}e^{8/3} = e^{8/3}\left(\frac{3}{8}-\frac{9}{64}\right).
Fazendo \dfrac{3}{8}=\dfrac{24}{64} obtemos
F(e)=e^{8/3}\cdot\frac{15}{64}=\frac{15}{64}e^{8/3}.
E
F(1)=\frac{3}{8}\cdot 1^{8/3}\cdot 0 - \frac{9}{64}\cdot 1^{8/3} = -\frac{9}{64}.

Passo 7

Portanto a integral é
\int_{1}^{e} x^{5/3}\ln x\,dx = F(e)-F(1)=\frac{15}{64}e^{8/3}-\left(-\frac{9}{64}\right) = \frac{15}{64}e^{8/3}+\frac{9}{64}.

Passo 8

Finalmente, usando f(1)=f(e)-\displaystyle\int_{1}^{e} f'(x)\,dx e substituindo f(e) e a integral:
f(1)=\left(\frac{1}{64}-\frac{1}{64}e^{8/3}\right)-\left(\frac{15}{64}e^{8/3}+\frac{9}{64}\right).
Agrupando termos constantes e os termos com e^{8/3}:
constantes: \dfrac{1}{64}-\dfrac{9}{64}=-\dfrac{8}{64}=-\dfrac{1}{8}.
coeficiente de e^{8/3}: -\dfrac{1}{64}-\dfrac{15}{64}=-\dfrac{16}{64}=-\dfrac{1}{4}.
Portanto
f(1)=-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}e^{8/3}.

Resposta

-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}e^{8/3}

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