Sabendo que
e
, calcule
Escolha uma opção:
a.
b.
c. 1
d.
e. 0
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado dá que
e que
. A pergunta é: calcular
.
Informações relevantes:
derivada conhecida
.
valor dado
.
queremos o valor
.
Informações relevantes:
Passo 2
Vamos usar a propriedade básica entre derivada e integral: o Teorema Fundamental do Cálculo nos dá
Isolando
obtemos
Então a tarefa reduz-se a calcular a integral
.
Passo 3
Para calcular
vamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde escolhemos
e
. Uma escolha natural aqui é
(já que sua derivada simplifica) e
.
Passo 4
Calculemos
e
:
(Expliquei: para integrar
usamos
quando
. Aqui
, então
.)
Passo 5
Aplicando integração por partes:
Simplificando o integrando da segunda parcela:
Então
E já sabemos
. Portanto
Chamemos essa primitiva de
:
Passo 6
Agora avaliamos a integral definida usando
:
Calculemos
e
separadamente. Usando
e
:
Fazendo
obtemos
E
Passo 7
Portanto a integral é
Passo 8
Finalmente, usando
e substituindo
e a integral:
Agrupando termos constantes e os termos com
:
constantes: .
coeficiente de :
.
Portanto
constantes:
coeficiente de
Portanto