Determine a solução geral da equação diferencial \mathrm{y} \prime \prime-12 \mathrm{y} \prime+36 \mathrm{y}=0
Selecione a resposta:
A \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1} \mathrm{e}^{6 \mathrm{x}}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{xe}^{6 \mathrm{x}}
B \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1} \mathrm{e}^{6 \mathrm{x}}+\mathrm{C}_{2} e^{6 \mathrm{x}}
C \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1} \mathrm{e}^{12 \mathrm{x}}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{e}^{36 \mathrm{x}}
D y(x)=e^{6 x}\left(C_{1} \cos 6 x+C_{2} \operatorname{sen} 6 x\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial homogênea linear de segunda ordem
\mathrm{y}'' - 12\,\mathrm{y}' + 36\,\mathrm{y} = 0.
Informações relevantes dadas:
\mathrm{y}'' é a segunda derivada de \mathrm{y} em relação a x, \mathrm{y}' é a primeira derivada, e os coeficientes são constantes -12 e 36. O objetivo é apresentar a solução geral \mathrm{y}(x) e escolher entre as alternativas A, B, C ou D fornecidas.

Passo 2

Método padrão: tentar uma solução da forma \mathrm{y}(x)=\mathrm{e}^{r x}. Explico por que: para equações lineares com coeficientes constantes essa tentativa transforma derivadas em multiplicação por potências de r, permitindo reduzir a ED a uma equação algébrica (a equação característica). calcular as derivadas:
\mathrm{y}' = r \mathrm{e}^{r x},\qquad \mathrm{y}'' = r^{2}\mathrm{e}^{r x}.
Substituindo na equação diferencial e dividindo por \mathrm{e}^{r x} (sempre não nula), obtemos a equação característica:
r^{2} - 12r + 36 = 0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Uso a fórmula do discriminante para identificar raízes:
\Delta = (-12)^{2} - 4\cdot 1\cdot 36 = 144 - 144 = 0.
Como \Delta=0, há uma raiz real dupla. Calcular a raiz:
r = \frac{12}{2} = 6.
Portanto r=6 é raiz de multiplicidade 2.

Passo 4

Teoria necessária (explicação didática): quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2, as duas soluções linearmente independentes da ED são
\mathrm{y}_1(x)=\mathrm{e}^{r x}\quad\text{e}\quad \mathrm{y}_2(x)=x\,\mathrm{e}^{r x}.
Motivo (demonstração curta por redução de ordem): já que \mathrm{y}_1=\mathrm{e}^{6x} é solução, procure \mathrm{y}_2(x)=v(x)\mathrm{e}^{6x}. Calculando derivadas e substituindo na equação original, simplifica-se até obter v''(x)\mathrm{e}^{6x}=0, ou seja v''(x)=0. Integração dá v(x)=A x + B. Tomando a parte linear independente de \mathrm{y}_1, escolhe-se v(x)=x, obtendo \mathrm{y}_2(x)=x\mathrm{e}^{6x}. Assim as duas soluções independentes são \mathrm{e}^{6x} e x\mathrm{e}^{6x}.

Passo 5

Construir a solução geral como combinação linear das duas soluções independentes:
\mathrm{y}(x)=C_{1}\mathrm{e}^{6x}+C_{2}x\mathrm{e}^{6x} = (C_{1}+C_{2}x)\mathrm{e}^{6x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Para confirmar que \mathrm{e}^{6x} e x\mathrm{e}^{6x} são independentes, calcule o Wronskiano:
W(\mathrm{y}_1,\mathrm{y}_2)= \begin{vmatrix} \mathrm{e}^{6x} & x\mathrm{e}^{6x} \\\\ 6\mathrm{e}^{6x} & (1+6x)\mathrm{e}^{6x} \end{vmatrix} = \mathrm{e}^{12x}\neq 0,
logo independentes.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas:
A \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1}\mathrm{e}^{6\mathrm{x}}+\mathrm{C}_{2}\mathrm{xe}^{6\mathrm{x}} — coincide com a solução obtida.
B \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1}\mathrm{e}^{6\mathrm{x}}+\mathrm{C}_{2} e^{6 \mathrm{x}} — as duas funções não são independentes (ambas proporcionais a \mathrm{e}^{6x}), inválida.
C \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1}\mathrm{e}^{12\mathrm{x}}+\mathrm{C}_{2}\mathrm{e}^{36\mathrm{x}} — não decorre da equação característica correta.
D y(x)=e^{6 x}\left(C_{1} \cos 6 x+C_{2} \operatorname{sen} 6 x\right) — corresponde a raízes complexas com parte imaginária 6, não é o caso aqui.

Resposta

A

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