Calcule a integral.
\int \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen}^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen}^{2}x}\,dx
O conteúdo principal é técnica de substituição (mudança de variável), usando que a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \operatorname{sen} x,
então
du = \cos x\,dx.

Passo 3

Em função de u, a integral fica
\int \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen}^{2}x}\,dx =\int \frac{du}{1+u^{2}}.

Passo 4

Reconhecemos que
\int \frac{du}{1+u^{2}} = \arctan(u) + C,
pois a derivada de \arctan(u) é 1/(1+u^{2}).

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = \operatorname{sen} x, obtendo
\arctan(u) + C = \arctan\bigl(\operatorname{sen} x\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \arctan(\operatorname{sen} x) + C

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