Calcule a integral.
\int \frac{x}{x^{2}-2 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{x^{2}-2x+2}\,dx.
O conteúdo principal é integração de função racional. Para resolver, vamos completar o quadrado no denominador e decompor o numerador de forma conveniente.

Passo 2

Observe que
x^{2}-2x+2 = (x-1)^{2}+1.
Essa forma facilita o uso de substituições do tipo u=x-1 e a identificação de uma parte que resulta em logaritmo e outra em arco-tangente.

Passo 3

Decomponha o numerador expressando x como soma de (x-1) e 1:
x = (x-1) + 1.
Logo,
\frac{x}{x^{2}-2x+2} = \frac{(x-1)+1}{(x-1)^{2}+1} = \frac{x-1}{(x-1)^{2}+1} \;+\;\frac{1}{(x-1)^{2}+1}.

Passo 4

Separe a integral em duas partes:
\int \frac{x}{x^{2}-2x+2}\,dx = \int \frac{x-1}{(x-1)^{2}+1}\,dx + \int \frac{1}{(x-1)^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Para a primeira integral, faça u = (x-1)^{2}+1. Então du = 2(x-1)\,dx, isto é, (x-1)\,dx = \tfrac{1}{2}\,du. Assim,
\int \frac{x-1}{(x-1)^{2}+1}\,dx = \int \frac{1}{2}\,\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln\bigl(u\bigr) = \frac{1}{2}\ln\bigl((x-1)^{2}+1\bigr).
Para a segunda integral, reconhecemos a forma de arco-tangente:
\int \frac{1}{(x-1)^{2}+1}\,dx = \arctan\bigl(x-1\bigr).

Passo 6

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{x}{x^{2}-2x+2}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl((x-1)^{2}+1\bigr) + \arctan\bigl(x-1\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\ln\bigl((x-1)^{2}+1\bigr) + \arctan\bigl(x-1\bigr) + C.

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