Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
O conteúdo principal é integração de função racional. Para resolver, vamos completar o quadrado no denominador e decompor o numerador de forma conveniente.
Passo 2
Observe que
Essa forma facilita o uso de substituições do tipo
e a identificação de uma parte que resulta em logaritmo e outra em arco-tangente.
Passo 3
Decomponha o numerador expressando
como soma de
e
:
Logo,
Passo 4
Separe a integral em duas partes:
Passo 5
Para a primeira integral, faça
. Então
, isto é,
. Assim,
Para a segunda integral, reconhecemos a forma de arco-tangente:
Passo 6
Somando os resultados e adicionando a constante de integração
, obtemos