Calcule a integral
\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{z}+1}{\mathrm{e}^{z}+z} d z.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{z}+1}{\mathrm{e}^{z}+z}\,dz.
Informações dadas:
  • O integrando é a função z\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{z}+1}{\mathrm{e}^{z}+z}.
  • O intervalo de integração é [0,1].
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Observação essencial (que vai guiar a resolução): calcule a derivada do denominador. Defina
g(z)=\mathrm{e}^{z}+z.
Agora calcule g'(z). Usando regras básicas de derivação (derivada de \mathrm{e}^{z} é \mathrm{e}^{z} e derivada de z é 1), obtemos
g'(z)=\mathrm{e}^{z}+1.
Repare que o numerador da integral é exatamente g'(z). Portanto o integrando é da forma \dfrac{g'(z)}{g(z)}.

Passo 3

Lembrete teórico (fórmula usada): para qualquer função diferenciável u(x) que não se anula, vale
\frac{d}{dx}\big(\ln|u(x)|\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isso decorre diretamente da regra da cadeia. Consequentemente, uma primitiva de \dfrac{u'(x)}{u(x)} é \ln|u(x)| (mais uma constante).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com u(z)=g(z)=\mathrm{e}^{z}+z, uma primitiva do integrando é
F(z)=\ln\big|\mathrm{e}^{z}+z\big|.
Antes de usar isso para a integral definida, verifiquemos se o argumento do log nunca muda de sinal em [0,1]. Para z\in[0,1] temos \mathrm{e}^{z}\ge \mathrm{e}^{0}=1, logo
\mathrm{e}^{z}+z \ge 1+0 = 1>0.
Portanto \mathrm{e}^{z}+z é positiva em todo o intervalo, e podemos retirar as barras de valor absoluto:
F(z)=\ln\big(\mathrm{e}^{z}+z\big).

Passo 5

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{z}+1}{\mathrm{e}^{z}+z}\,dz = F(1)-F(0) = \ln\big(\mathrm{e}^{1}+1\big)-\ln\big(\mathrm{e}^{0}+0\big).
Agora avalie os termos:
\mathrm{e}^{1}+1=\mathrm{e}+1,\qquad \mathrm{e}^{0}+0=1+0=1,
e \ln(1)=0.

Passo 6

Concluímos então que
\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{z}+1}{\mathrm{e}^{z}+z}\,dz = \ln(\mathrm{e}+1).
Um exemplo simples para fixar a ideia: se tivéssemos \int \dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx, reconheceríamos u=x^{2}+1 com u'=2x e a primitiva seria \ln(x^{2}+1), mesmo princípio que usamos aqui.

Resposta

\ln(\mathrm{e}+1)

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