Exercício 4. Determinar os maiores subconjuntos A e B de \mathbb{R} tais que a função
f(x)=\frac{e^{x}+2}{e^{x}-1}
constitua uma bijeção de A em B, e determinar sua bijeção inversa.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{e^{x}+2}{e^{x}-1}
e pede duas coisas: (1) determinar os maiores subconjuntos A\subset\mathbb{R} e B\subset\mathbb{R} tais que f seja uma bijeção de A em B; (2) determinar a bijeção inversa f^{-1}:B\to A.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{a função é }f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\text{ dada por }f(x)=\frac{e^{x}+2}{e^{x}-1}.çãé
Observações imediatas que vamos usar mais adiante (não é resolução ainda): há possibilidade de denominador zero quando e^{x}-1=0; também e^{x}>0 para todo x.

Passo 2

Identificar onde a expressão está bem definida (domínio natural). A função racional em e^{x} exige que o denominador seja diferente de zero:
e^{x}-1\neq 0.
Como e^{x}=1 se e somente se x=0, concluímos que a expressão não está definida em x=0. Portanto o maior candidato a domínio é
A=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Explicando devagar: e^{x}>0 sempre, então só precisamos evitar x tal que e^{x}=1, isto é x=0. Não há outras restrições (nenhuma raiz quadrada, log, etc.), então esse é o maior conjunto onde f está definida.

Passo 3

Para estudar injetividade e imagem (que nos dará B), é conveniente fazer a substituição
t=e^{x}.
Essa substituição é útil porque t varia em (0,\infty) e é estritamente crescente em x. Como x\neq 0 (excluímos), temos t\in(0,1)\cup(1,\infty). Escrevendo f em função de t obtemos a função auxiliar
h(t)=\frac{t+2}{t-1},\qquad t>0,\\ t\neq 1,
com f(x)=h(e^{x}).

Passo 4

Estudar o comportamento de h(t) (isso nos dirá monotonicidade e imagem de cada ramo). Calculamos a derivada de h para ver se é monotona. Usamos a regra do quociente: para h(t)=\dfrac{t+2}{t-1},
h'(t)=\frac{(1)(t-1)-(t+2)(1)}{(t-1)^{2}}=\frac{t-1-t-2}{(t-1)^{2}}=\frac{-3}{(t-1)^{2}}.
Como (t-1)^{2}>0 para todo t\neq1, temos h'(t)=-3/(t-1)^{2}<0. Logo h é estritamente decrescente em cada intervalo onde está definida: em (0,1) e em (1,\infty).
Comentário didático: derivada negativa significa que, quando t aumenta, h(t) diminui; isso garante injetividade de h em cada intervalo.

Passo 5

Calcular os limites essenciais para encontrar a imagem de h em cada ramo.
  1. Para t\to 1^{-} (aproximação por valores menores que 1), o denominador t-1\to 0^{-} e o numerador t+2\to 3. Assim
\lim_{t\to 1^{-}}h(t)=-\infty.
  1. Para t\to 0^{+},
\lim_{t\to 0^{+}}h(t)=\frac{0+2}{0-1}=-2.
Esse é um limite finito: h(t) aproxima-se de -2 quando t vai para 0^{+}. Como h é decrescente em (0,1), os valores de h quando t percorre (0,1) cobrem o intervalo aberto (-\infty,-2). Observação importante: o valor -2 não é atingido porque exigiria t=0, o que é impossível já que t=e^{x}>0.
  1. Para t\to 1^{+}, temos t-1\to 0^{+} e t+2\to 3, logo
\lim_{t\to 1^{+}}h(t)=+\infty.
  1. Para t\to +\infty,
\lim_{t\to +\infty}h(t)=\lim_{t\to +\infty}\frac{t+2}{t-1}=1.
Mais precisamente, para grandes t,
h(t)-1=\frac{t+2}{t-1}-1=\frac{3}{t-1}>0,
então h(t) tende a 1 por cima (valores maiores que 1). Como h é decrescente em (1,\infty), a imagem de (1,\infty) por h é (1,+\infty).

Passo 6

Unindo as duas imagens dos ramos t\in(0,1) e t\in(1,\infty), obtemos a imagem total de f quando x varia em \mathbb{R}\setminus\{0\}:
B = (-\infty,-2)\cup(1,+\infty).
Justificativa: o ramo x<0 corresponde a t\in(0,1) e produz (-\infty,-2); o ramo x>0 corresponde a t\in(1,\infty) e produz (1,+\infty). Esses dois intervalos são disjuntos, então não há colisão de valores entre os dois ramos.

Passo 7

Verificar injetividade e maximalidade. Injetividade: em cada ramo x<0 e x>0 a função é composição de x\mapsto e^{x} (estritamente crescente) com h (estritamente decrescente), logo em cada ramo f é estritamente decrescente e, portanto, injetiva. Como as imagens dos dois ramos são disjuntas, não há pares x_1\neq x_2 em ramos diferentes que produzam o mesmo valor; logo f é injetiva em todo A=\mathbb{R}\setminus\{0\}. Sobre maximalidade: não se pode incluir x=0 em A porque f não está definida ali; e B é exatamente a imagem de A, então é o maior conjunto B\subset\mathbb{R} tal que f:A\to B seja sobrejetiva. Assim A=\mathbb{R}\setminus\{0\} e B=(-\infty,-2)\cup(1,\infty) são os maiores subconjuntos desejados.

Passo 8

Determinar a inversa explicitamente. Partimos da equação
y=\frac{e^{x}+2}{e^{x}-1},
onde y\in B. Fazemos a substituição t=e^{x} (já usada antes) e resolvemos para t:
y=\frac{t+2}{t-1}\quad\Longrightarrow\quad y(t-1)=t+2.
Desenvolvendo:
yt-y=t+2\quad\Longrightarrow\quad yt-t=y+2\quad\Longrightarrow\quad t(y-1)=y+2.
Como y\neq 1 para y\in B, podemos dividir e obter
t=\frac{y+2}{y-1}.
Voltando para x usando t=e^{x}, temos
e^{x}=\frac{y+2}{y-1}\quad\Longrightarrow\quad x=\ln\!\left(\frac{y+2}{y-1}\right).
Portanto a inversa é a função
f^{-1}(y)=\ln\!\left(\frac{y+2}{y-1}\right),\qquad y\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty).

Passo 9

Verificação rápida (opcional, só para confiança): se y\in B então (y+2) e (y-1) têm o mesmo sinal (ambos positivos se y>1, ambos negativos se y<-2), logo a razão é positiva e o logaritmo está bem definido. Substituindo e^{x}=(y+2)/(y-1) em f recuperamos y por cálculo algébrico direto, confirmando que é a inversa correta.

Resposta

A=\mathbb{R}\setminus\{0\}
B=(-\infty,-2)\cup(1,\infty)
f^{-1}(y)=\ln\!\left(\dfrac{y+2}{y-1}\right),\quad y\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty)

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