Exercício 4. Determinar os maiores subconjuntos
e
de
tais que a função
constitua uma bijeção de
em
, e determinar sua bijeção inversa.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) determinar os maiores subconjuntos
e
tais que
seja uma bijeção de
em
; (2) determinar a bijeção inversa
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Observações imediatas que vamos usar mais adiante (não é resolução ainda): há possibilidade de denominador zero quando
; também
para todo
.
Passo 2
Identificar onde a expressão está bem definida (domínio natural). A função racional em
exige que o denominador seja diferente de zero:
Como
se e somente se
, concluímos que a expressão não está definida em
. Portanto o maior candidato a domínio é
Explicando devagar:
sempre, então só precisamos evitar
tal que
, isto é
. Não há outras restrições (nenhuma raiz quadrada, log, etc.), então esse é o maior conjunto onde
está definida.
Passo 3
Para estudar injetividade e imagem (que nos dará
), é conveniente fazer a substituição
Essa substituição é útil porque
varia em
e é estritamente crescente em
. Como
(excluímos), temos
. Escrevendo
em função de
obtemos a função auxiliar
com
.
Passo 4
Estudar o comportamento de
(isso nos dirá monotonicidade e imagem de cada ramo). Calculamos a derivada de
para ver se é monotona. Usamos a regra do quociente: para
,
Como
para todo
, temos
. Logo
é estritamente decrescente em cada intervalo onde está definida: em
e em
.
Comentário didático: derivada negativa significa que, quando
aumenta,
diminui; isso garante injetividade de
em cada intervalo.
Passo 5
Calcular os limites essenciais para encontrar a imagem de
em cada ramo.
- Para
(aproximação por valores menores que 1), o denominador e o numerador . Assim
- Para
,
Esse é um limite finito:
aproxima-se de
quando
vai para
. Como
é decrescente em
, os valores de
quando
percorre
cobrem o intervalo aberto
. Observação importante: o valor
não é atingido porque exigiria
, o que é impossível já que
.
- Para
, temos e , logo
- Para
,
Mais precisamente, para grandes
,
então
tende a
por cima (valores maiores que
). Como
é decrescente em
, a imagem de
por
é
.
Passo 6
Unindo as duas imagens dos ramos
e
, obtemos a imagem total de
quando
varia em
:
Justificativa: o ramo
corresponde a
e produz
; o ramo
corresponde a
e produz
. Esses dois intervalos são disjuntos, então não há colisão de valores entre os dois ramos.
Passo 7
Verificar injetividade e maximalidade. Injetividade: em cada ramo
e
a função é composição de
(estritamente crescente) com
(estritamente decrescente), logo em cada ramo
é estritamente decrescente e, portanto, injetiva. Como as imagens dos dois ramos são disjuntas, não há pares
em ramos diferentes que produzam o mesmo valor; logo
é injetiva em todo
. Sobre maximalidade: não se pode incluir
em
porque
não está definida ali; e
é exatamente a imagem de
, então é o maior conjunto
tal que
seja sobrejetiva. Assim
e
são os maiores subconjuntos desejados.
Passo 8
Determinar a inversa explicitamente. Partimos da equação
onde
. Fazemos a substituição
(já usada antes) e resolvemos para
:
Desenvolvendo:
Como
para
, podemos dividir e obter
Voltando para
usando
, temos
Portanto a inversa é a função
Passo 9
Verificação rápida (opcional, só para confiança): se
então
e
têm o mesmo sinal (ambos positivos se
, ambos negativos se
), logo a razão é positiva e o logaritmo está bem definido. Substituindo
em
recuperamos
por cálculo algébrico direto, confirmando que é a inversa correta.