Calcule a integral trocando a ordem de integração.
\int_{0}^{8} \int_{\sqrt{y}}^{2} e^{x^{4}} d x d y

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado é
\int_{0}^{8}\int_{\sqrt{y}}^{2} e^{x^{4}}\,dx\,dy.
As informações relevantes são:
  • O integral externo varia y de \,0 até \,8.
  • Para cada y fixo, o integral interno varia x de \sqrt{y} até 2.
  • A função a integrar é e^{x^{4}}, que depende só de x.
    O pedido implícito é trocar a ordem de integração (isto é, integrar primeiro em y e depois em x) e calcular o resultado.

Passo 2

Primeiro vamos descrever geometricamente a região de integração no plano (x,y). A condição interna \sqrt{y}\le x\le 2 e a externa 0\le y\le 8 definem
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 8,\\ \sqrt{y}\le x\le 2\}.
Observe que \sqrt{y}\le 2 é equivalente a y\le 4. Para y>4 não existe x satisfazendo \sqrt{y}\le x\le 2 (pois \sqrt{y}>2), logo a contribuição efetiva vem apenas de y\in[0,4]. Portanto podemos reescrever a região de maneira mais simples:
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le x^{2},\\\ 0\le x\le 2\}.
Aqui usei a equivalência \sqrt{y}\le x \iff y\le x^{2} (para x\ge 0) e notei que os valores possíveis de x vão de 0 até 2 (quando y=0 temos \sqrt{0}=0, então x começa em 0).

Passo 3

Agora expressamos o mesmo integral trocando a ordem: integrar primeiro em y (de baixo para cima na região para um x fixo) e depois em x. A partir da descrição da região, para cada x com 0\le x\le 2 temos y variando de 0 até x^{2}. Assim a integral trocada é
\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x^{2}} e^{x^{4}}\,dy\,dx.

Passo 4

Agora calculamos o integral interno em y. Como e^{x^{4}} independe de y, a integração em y é simples: para x fixo,
\int_{0}^{x^{2}} e^{x^{4}}\,dy = e^{x^{4}}\cdot\bigl(x^{2}-0\bigr)=x^{2}e^{x^{4}}.
Portanto o integral duplo reduz-se ao integral simples
\int_{0}^{2} x^{2}e^{x^{4}}\,dx.

Passo 5

Vamos tentar avaliar \displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}e^{x^{4}}\,dx. Uma substituição natural é u=x^{4}. Fazendo u=x^{4} temos du=4x^{3}\,dx, o que não cancela exatamente o x^{2}\,dx. No entanto podemos expressar x^{2}\,dx em termos de u:
dx=\frac{du}{4x^{3}}\quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx=\frac{du}{4x}=\frac{1}{4}u^{-1/4}\,du,
onde usei x=u^{1/4}. As novas limites: quando x=0 tem u=0; quando x=2 tem u=16. Assim
\int_{0}^{2} x^{2}e^{x^{4}}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{16} u^{-1/4}e^{u}\,du.

Passo 6

Observação importante (didática): a integral \displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}e^{x^{4}}\,dx e a forma \dfrac{1}{4}\int_{0}^{16} u^{-1/4}e^{u}\,du são corretas e representam o valor da integral trocando a ordem. Essas expressões não têm primitiva elementar em termos de funções elementares usuais (polinomiais, exponencial, log, trigonométricas, etc.). Podem ser expressas usando funções especiais (funções gama incompletas) ou avaliadas numericamente se for necessário um valor aproximado.

Passo 7

Se quisermos, escrevemos o resultado também na forma de função gama incompleta complexa (apenas para referência; não é necessário para a maioria das provas básicas). Uma representação possível é
\int_{0}^{2} x^{2}e^{x^{4}}\,dx=\frac{1}{4}\Bigl(\Gamma\!\bigl(\tfrac{3}{4},-16\bigr)-\Gamma\!\bigl(\tfrac{3}{4},0\bigr)\Bigr),
onde \Gamma(s,z) é a função gama incompleta. Mas, de novo, isso usa funções especiais e não é exigido se o exercício queria apenas trocar a ordem e simplificar o integral.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{2} x^{2}e^{x^{4}}\,dx = \frac{1}{4}\displaystyle\int_{0}^{16} u^{-1/4}e^{u}\,du

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