Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado é
As informações relevantes são:
- O integral externo varia
de até . - Para cada
fixo, o integral interno varia de até . - A função a integrar é
, que depende só de .
O pedido implícito é trocar a ordem de integração (isto é, integrar primeiro eme depois em ) e calcular o resultado.
Passo 2
Primeiro vamos descrever geometricamente a região de integração no plano
. A condição interna
e a externa
definem
Observe que
é equivalente a
. Para
não existe
satisfazendo
(pois
), logo a contribuição efetiva vem apenas de
. Portanto podemos reescrever a região de maneira mais simples:
Aqui usei a equivalência
(para
) e notei que os valores possíveis de
vão de
até
(quando
temos
, então
começa em
).
Passo 3
Agora expressamos o mesmo integral trocando a ordem: integrar primeiro em
(de baixo para cima na região para um
fixo) e depois em
. A partir da descrição da região, para cada
com
temos
variando de
até
. Assim a integral trocada é
Passo 4
Agora calculamos o integral interno em
. Como
independe de
, a integração em
é simples: para
fixo,
Portanto o integral duplo reduz-se ao integral simples
Passo 5
Vamos tentar avaliar
. Uma substituição natural é
. Fazendo
temos
, o que não cancela exatamente o
. No entanto podemos expressar
em termos de
:
onde usei
. As novas limites: quando
tem
; quando
tem
. Assim
Passo 6
Observação importante (didática): a integral
e a forma
são corretas e representam o valor da integral trocando a ordem. Essas expressões não têm primitiva elementar em termos de funções elementares usuais (polinomiais, exponencial, log, trigonométricas, etc.). Podem ser expressas usando funções especiais (funções gama incompletas) ou avaliadas numericamente se for necessário um valor aproximado.
Passo 7
Se quisermos, escrevemos o resultado também na forma de função gama incompleta complexa (apenas para referência; não é necessário para a maioria das provas básicas). Uma representação possível é
onde
é a função gama incompleta. Mas, de novo, isso usa funções especiais e não é exigido se o exercício queria apenas trocar a ordem e simplificar o integral.