Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e o que é pedido:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até . - Queremos o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a raiz cúbica em potência, porque trabalhar com potências facilita muito a integração. Lembre que, para
,
No nosso caso o intervalo
tem apenas
positivos, então essa igualdade vale sem complicação.
Passo 3
Substituindo na integral, o integrando fica uma potência:
Aqui usei a regra de potências: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
.
Passo 4
Apresento a regra que vou usar para integrar: a regra da potência.
Se , então
Se
Explicando:
é o expoente da potência,
é a constante de integração. Essa fórmula vem do fato de que ao derivar
obtemos
.
Passo 5
Também uso a propriedade de fator constante:
onde
é constante. Aplicando isso,
Passo 6
Agora aplico a regra da potência com
. Então
. Assim,
Multiplicando pelo
que estava fora:
Portanto uma primitiva (antiderivada) é
.
Passo 7
Como queremos a integral definida de
a
, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 8
Calculamos as raízes cúbicas:
Substituindo,
Passo 9
Checagem rápida (só para garantir): derivando a primitiva
obtemos
, que é exatamente o integrando. Tudo consistente!