Calcule a integral:
\int_{1}^{8} \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{8} \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • O integrando é \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}.
  • O intervalo de integração é de x=1 até x=8.
  • Queremos o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a raiz cúbica em potência, porque trabalhar com potências facilita muito a integração. Lembre que, para x\ge 0,
\sqrt[3]{x^{2}} = x^{2/3}.
No nosso caso o intervalo [1,8] tem apenas x positivos, então essa igualdade vale sem complicação.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando fica uma potência:
\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}} = \frac{2}{x^{2/3}} = 2x^{-2/3}.
Aqui usei a regra de potências: dividir por x^{a} é o mesmo que multiplicar por x^{-a}.

Passo 4

Apresento a regra que vou usar para integrar: a regra da potência.
Se n\neq -1, então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicando: n é o expoente da potência, C é a constante de integração. Essa fórmula vem do fato de que ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtemos x^{n}.

Passo 5

Também uso a propriedade de fator constante:
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx,
onde c é constante. Aplicando isso,
\int 2x^{-2/3}\,dx = 2\int x^{-2/3}\,dx.

Passo 6

Agora aplico a regra da potência com n=-\tfrac{2}{3}. Então n+1 = -\tfrac{2}{3}+1 = \tfrac{1}{3}. Assim,
\int x^{-2/3}\,dx = \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{1/3}.
Multiplicando pelo 2 que estava fora:
\int 2x^{-2/3}\,dx = 2\cdot 3x^{1/3} = 6x^{1/3} + C.
Portanto uma primitiva (antiderivada) é F(x)=6x^{1/3}.

Passo 7

Como queremos a integral definida de 1 a 8, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{1}^{8} \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}\,dx = \left[6x^{1/3}\right]_{1}^{8} = 6\bigl(8^{1/3}\bigr) - 6\bigl(1^{1/3}\bigr).

Passo 8

Calculamos as raízes cúbicas:
8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2,\qquad 1^{1/3} = \sqrt[3]{1} = 1.
Substituindo,
6\bigl(8^{1/3}\bigr) - 6\bigl(1^{1/3}\bigr) = 6\cdot 2 - 6\cdot 1 = 12 - 6 = 6.

Passo 9

Checagem rápida (só para garantir): derivando a primitiva F(x)=6x^{1/3} obtemos F'(x)=6\cdot\tfrac{1}{3}x^{-2/3}=2x^{-2/3}, que é exatamente o integrando. Tudo consistente!

Resposta

6

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