Calcule a integral:
\int_{0}^{4}(1-t) \sqrt{t} d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{0}^{4}(1-t)\sqrt{t}\,dt.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é (1-t)\sqrt{t}.
  • O intervalo de integração é de t=0 até t=4.
  • Para t\in[0,4] temos \sqrt{t}\ge 0, mas o fator (1-t) muda de sinal em t=1, então parte da área será positiva (em 0\le t<1) e parte negativa (em 1<t\le4) — isso é apenas uma observação intuitiva, a conta abaixo dará o valor numérico.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: escrever a raiz como potência e multiplicar para simplificar a integração.
  • Lembrando que \sqrt{t}=t^{1/2}, logo
(1-t)\sqrt{t} = (1-t)t^{1/2} = t^{1/2} - t\cdot t^{1/2} = t^{1/2} - t^{3/2}.
Agora a integral fica
\int_{0}^{4}(1-t)\sqrt{t}\,dt = \int_{0}^{4}\bigl(t^{1/2}-t^{3/2}\bigr)\,dt.
Explicação didática da técnica que vamos usar: regra da integral de potência.
  • A fórmula básica é: para qualquer expoente n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui t é a variável de integração e n é o expoente. Aplicamos essa regra termo a termo porque a integral é linear:
\int (f+g)\,dt = \int f\,dt + \int g\,dt,\qquad \int (c\cdot f)\,dt = c\int f\,dt.
Tudo isso vale porque as potências que temos ( 1/2 e 3/2) são diferentes de -1.

Passo 3

Calcular as primitivas termo a termo usando a regra da potência.
  • Para t^{1/2}: aqui n=1/2, então
\int t^{1/2}\,dt = \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}t^{3/2}.
  • Para t^{3/2}: aqui n=3/2, então
\int t^{3/2}\,dt = \frac{t^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{t^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}t^{5/2}.
Portanto uma primitiva da função t^{1/2}-t^{3/2} é
F(t)=\frac{2}{3}t^{3/2}-\frac{2}{5}t^{5/2}.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
  • O teorema diz que, se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a).
Aqui F(t)=\dfrac{2}{3}t^{3/2}-\dfrac{2}{5}t^{5/2}. Logo
\int_{0}^{4}(1-t)\sqrt{t}\,dt = F(4)-F(0).

Passo 5

Calcular F(4) e F(0) explicitamente.
  • Primeiro calcule as potências de 4:
4^{1/2} = 2,\qquad 4^{3/2} = (4^{1/2})^{3}=2^{3}=8,\qquad 4^{5/2}=(4^{1/2})^{5}=2^{5}=32.
  • Então
F(4)=\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} - \frac{2}{5}\cdot 4^{5/2} = \frac{2}{3}\cdot 8 - \frac{2}{5}\cdot 32.
Calcule cada termo:
\frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3},\qquad \frac{2}{5}\cdot 32 = \frac{64}{5}.
  • Para t=0 temos 0^{3/2}=0 e 0^{5/2}=0, então
F(0)=0.
  • Assim
\int_{0}^{4}(1-t)\sqrt{t}\,dt = \frac{16}{3} - \frac{64}{5}.

Passo 6

Fazer a subtração de frações e simplificar.
  • Colocando em denominador comum 15:
\frac{16}{3} = \frac{80}{15},\qquad \frac{64}{5} = \frac{192}{15}.
  • Então
\frac{16}{3} - \frac{64}{5} = \frac{80}{15} - \frac{192}{15} = -\frac{112}{15}.
Como checagem rápida: -\dfrac{112}{15}\approx -7,466, que faz sentido porque a parte negativa da função (para t>1) domina.

Resposta

-\frac{112}{15}

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