Calcule a integral:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até . - Para
temos , mas o fator muda de sinal em , então parte da área será positiva (em ) e parte negativa (em ) — isso é apenas uma observação intuitiva, a conta abaixo dará o valor numérico.
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: escrever a raiz como potência e multiplicar para simplificar a integração.
- Lembrando que
, logo
Agora a integral fica
Explicação didática da técnica que vamos usar: regra da integral de potência.
- A fórmula básica é: para qualquer expoente
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é a variável de integração e
é o expoente. Aplicamos essa regra termo a termo porque a integral é linear:
Tudo isso vale porque as potências que temos (
e
) são diferentes de
.
Passo 3
Calcular as primitivas termo a termo usando a regra da potência.
- Para
: aqui , então
- Para
: aqui , então
Portanto uma primitiva da função
é
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
- O teorema diz que, se
é uma primitiva de , então
Aqui
. Logo
Passo 5
Calcular
e
explicitamente.
- Primeiro calcule as potências de
:
- Então
Calcule cada termo:
- Para
temos e , então
- Assim
Passo 6
Fazer a subtração de frações e simplificar.
- Colocando em denominador comum
:
- Então
Como checagem rápida:
, que faz sentido porque a parte negativa da função (para
) domina.
Resposta
-\frac{112}{15}