Calcule a integral:
\int_{1}^{3}\left(\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{z^{3}}\right) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{3}\left(\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{z^{3}}\right)\,dz.
Informações dadas:
  • O integrando é a soma de duas frações: \frac{1}{z^{2}} e \frac{1}{z^{3}}.
  • Os limites de integração são z=1 (inferior) e z=3 (superior).
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int_{1}^{3}\left(\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{z^{3}}\right)\,dz = \int_{1}^{3}\frac{1}{z^{2}}\,dz+\int_{1}^{3}\frac{1}{z^{3}}\,dz.
Isto permite tratar cada termo separadamente — é mais fácil.

Passo 3

Precisamos achar primitivas (antiderivadas) de cada termo. Lembre da regra de potência para integrais:
\int z^{n}\,dz=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1.
Aqui n é o expoente de z. Aplicamos essa fórmula a potências com expoentes negativos (isso é permitido desde que n\neq-1).

Passo 4

Reescrevo os termos com expoentes:
\frac{1}{z^{2}}=z^{-2} e \frac{1}{z^{3}}=z^{-3}.
Agora aplico a regra de potência:
  • Para z^{-2}, com n=-2,
\int z^{-2}\,dz=\frac{z^{-2+1}}{-2+1}=\frac{z^{-1}}{-1}=-z^{-1}=-\frac{1}{z}.
  • Para z^{-3}, com n=-3,
\int z^{-3}\,dz=\frac{z^{-3+1}}{-3+1}=\frac{z^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}z^{-2}=-\frac{1}{2z^{2}}.

Passo 5

Portanto uma primitiva (antiderivada) comum da soma é
F(z)=-\frac{1}{z}-\frac{1}{2z^{2}}+C.
Para a integral definida vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo: o valor é F(3)-F(1).

Passo 6

Calculo F(3) e F(1):
F(3)=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot 3^{2}}=-\frac{1}{3}-\frac{1}{18}.
F(1)=-\frac{1}{1}-\frac{1}{2\cdot 1^{2}}=-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}.

Passo 7

Agora F(3)-F(1):
F(3)-F(1)=\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{18}\right)-\left(-\frac{3}{2}\right).
Calculo passo a passo: -\frac{1}{3}-\frac{1}{18}=-\frac{6}{18}-\frac{1}{18}=-\frac{7}{18}.
Então
-\frac{7}{18}-\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{7}{18}+\frac{3}{2}.
Coloco em denominador comum 18: \frac{3}{2}=\frac{27}{18}. Logo
-\frac{7}{18}+\frac{27}{18}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}.

Resposta

\frac{10}{9}

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