Calcule a integral:
\int \frac{x^{2}+2 x-1}{x^{3}-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+2x-1}{x^{3}-x}\,dx.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A função integranda é a razão de dois polinômios: numerador \,x^{2}+2x-1 e denominador \,x^{3}-x.
  • A integral é indefinida, então o resultado deve incluir uma constante de integração C.
    O que se pede explicitamente: encontrar uma antiderivada da função \dfrac{x^{2}+2x-1}{x^{3}-x}.

Passo 2

Escolha do método: decomposição em frações parciais.
Explicação didática do porquê: quando temos uma razão de polinômios onde o grau do numerador é menor que o do denominador (aqui grau 2 no numerador e grau 3 no denominador), é apropriado tentar decompor a fração em somas de frações mais simples (frações parciais). Essas frações simples são fáceis de integrar porque a integral de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a|. Se o denominador tivesse fatores quadráticos irreduzíveis ou multiplicidade maior, usaríamos casos correspondentes, mas primeiro vamos fatorar o denominador.

Passo 3

Fatoração do denominador.
Calcule a fatoração de \,x^{3}-x. Observe fator comum \,x:
x^{3}-x = x(x^{2}-1).
Em seguida, fatorize x^{2}-1 como diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Portanto
x^{3}-x = x(x-1)(x+1).
Como todos os fatores são lineares distintos, a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{x^{2}+2x-1}{x^{3}-x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1},
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 4

Encontrar A, B e C — construção da equação para coeficientes.
Multiplique ambos os lados por x(x-1)(x+1) para eliminar denominadores:
x^{2}+2x-1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1).
Agora vamos determinar A,B,C. Uma maneira rápida é usar o método do “cover-up” (substituir valores que anulam fatores) — isto é válido porque os fatores são distintos.

Passo 5

Aplicar o método do cover-up para achar A, B e C.
  • Para \,x=0: o lado esquerdo é 0^{2}+2\cdot0-1 = -1. O lado direito fica A(0-1)(0+1)=A(-1)(1)=-A. Logo
-1 = -A \quad\Rightarrow\quad A = 1.
  • Para \,x=1: o lado esquerdo é 1^{2}+2\cdot1-1 = 2. O lado direito tem apenas o termo em B: B\cdot1\cdot(1+1)=2B. Logo
2 = 2B \quad\Rightarrow\quad B = 1.
  • Para \,x=-1: o lado esquerdo é (-1)^{2}+2(-1)-1 = 1-2-1 = -2. O lado direito tem apenas o termo em C: C\cdot(-1)\cdot(-1-1)=C\cdot(-1)\cdot(-2)=2C. Logo
-2 = 2C \quad\Rightarrow\quad C = -1.
Concluímos:
A=1,\quad B=1,\quad C=-1.

Passo 6

Reescrever a integral e integrar termo a termo.
Substituindo os coeficientes na decomposição:
\frac{x^{2}+2x-1}{x^{3}-x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}.
Então a integral original fica
\int \frac{x^{2}+2x-1}{x^{3}-x}\,dx = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) dx.
Agora, ensinando a regra básica usada aqui: a integral de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a| porque se fizermos a substituição u=x-a então du=dx e \int \dfrac{1}{u}du=\ln|u|=\ln|x-a|. Em particular, \int \dfrac{1}{x}dx=\ln|x|.
Aplicando isso a cada termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|,\qquad \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln|x-1|,\qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1|.
Lembre-se do sinal negativo no terceiro termo. Assim a antiderivada é
\ln|x| + \ln|x-1| - \ln|x+1| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Comentário final e simplificação (opcional).
Podemos juntar os logaritmos em um único logaritmo usando a propriedade \ln a + \ln b - \ln c = \ln\!\left(\dfrac{ab}{c}\right). Assim uma forma compacta da resposta é
\ln\!\left|\frac{x(x-1)}{x+1}\right| + C.

Resposta

\ln|x|+\ln|x-1|-\ln|x+1|+C
ou, de forma equivalente,
\displaystyle \ln\!\left|\frac{x(x-1)}{x+1}\right|+C

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