Calcule a integral:
\int \frac{x^{2}+2 x-1}{x^{3}-x} d x
\int \frac{x^{2}+2 x-1}{x^{3}-x} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Dados importantes extraídos do enunciado:
- A função integranda é a razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - A integral é indefinida, então o resultado deve incluir uma constante de integração
.
O que se pede explicitamente: encontrar uma antiderivada da função.
Passo 2
Escolha do método: decomposição em frações parciais.
Explicação didática do porquê: quando temos uma razão de polinômios onde o grau do numerador é menor que o do denominador (aqui grau no numerador e grau
no denominador), é apropriado tentar decompor a fração em somas de frações mais simples (frações parciais). Essas frações simples são fáceis de integrar porque a integral de
é
. Se o denominador tivesse fatores quadráticos irreduzíveis ou multiplicidade maior, usaríamos casos correspondentes, mas primeiro vamos fatorar o denominador.
Explicação didática do porquê: quando temos uma razão de polinômios onde o grau do numerador é menor que o do denominador (aqui grau
Passo 3
Fatoração do denominador.
Calcule a fatoração de . Observe fator comum
:
Calcule a fatoração de
Em seguida, fatorize
como diferença de quadrados:
Portanto
Como todos os fatores são lineares distintos, a decomposição em frações parciais tem a forma
onde
,
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Encontrar
,
e
— construção da equação para coeficientes.
Multiplique ambos os lados por para eliminar denominadores:
Multiplique ambos os lados por
Agora vamos determinar
. Uma maneira rápida é usar o método do “cover-up” (substituir valores que anulam fatores) — isto é válido porque os fatores são distintos.
Passo 5
Aplicar o método do cover-up para achar
,
e
.
- Para
: o lado esquerdo é . O lado direito fica . Logo
- Para
: o lado esquerdo é . O lado direito tem apenas o termo em : . Logo
- Para
: o lado esquerdo é . O lado direito tem apenas o termo em : . Logo
Concluímos:
Passo 6
Reescrever a integral e integrar termo a termo.
Substituindo os coeficientes na decomposição:
Substituindo os coeficientes na decomposição:
Então a integral original fica
Agora, ensinando a regra básica usada aqui: a integral de
é
porque se fizermos a substituição
então
e
. Em particular,
.
Aplicando isso a cada termo:
Lembre-se do sinal negativo no terceiro termo. Assim a antiderivada é
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Comentário final e simplificação (opcional).
Podemos juntar os logaritmos em um único logaritmo usando a propriedade . Assim uma forma compacta da resposta é
Podemos juntar os logaritmos em um único logaritmo usando a propriedade
Resposta
ou, de forma equivalente,