Calcule a integral
\int \frac{x^{3}+3 x^{2}+6 x+1}{x^{3}+x^{2}+x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}+3x^{2}+6x+1}{x^{3}+x^{2}+x-3}\,dx.
O plano é primeiro fazer a divisão polinomial para separar uma parte trivial 1 e deixar uma fração própria. Depois usamos a técnica de escrever o numerador como múltiplo da derivada do denominador mais um resto, e por fim decomposição em frações parciais após fatorar o denominador.

Passo 2

Dividindo x^{3}+3x^{2}+6x+1 por x^{3}+x^{2}+x-3 temos quociente 1 e resto
(3x^{2}-x^{2})=2x^{2},\quad (6x-x)=5x,\quad(1-(-3))=4,
ou seja
\frac{x^{3}+3x^{2}+6x+1}{x^{3}+x^{2}+x-3} =1+\frac{2x^{2}+5x+4}{x^{3}+x^{2}+x-3}.
Logo
\int \frac{x^{3}+3x^{2}+6x+1}{x^{3}+x^{2}+x-3}\,dx =\int 1\,dx +\int \frac{2x^{2}+5x+4}{x^{3}+x^{2}+x-3}\,dx =x+\int \frac{2x^{2}+5x+4}{D(x)}\,dx,
onde D(x)=x^{3}+x^{2}+x-3.

Passo 3

Escrevemos o numerador como
2x^{2}+5x+4 =A\,D'(x)+\bigl(Bx+C\bigr), \quad D'(x)=3x^{2}+2x+1.
Igualando coeficientes:
2x^{2}+5x+4 =A(3x^{2}+2x+1)+(Bx+C)
leva a A=\tfrac23, B=\tfrac{11}{3}, C=\tfrac{10}{3}.
Então
\int \frac{2x^{2}+5x+4}{D(x)}\,dx =\frac23\int\frac{D'(x)}{D(x)}\,dx +\int\frac{\tfrac{11}{3}x+\tfrac{10}{3}}{D(x)}\,dx.

Passo 4

A primeira parte é imediata:
\frac23\int\frac{D'(x)}{D(x)}\,dx =\frac23\ln\bigl|D(x)\bigr|.
Sobrou
\int\frac{\tfrac{11}{3}x+\tfrac{10}{3}}{D(x)}\,dx =\int\frac{11x+10}{3\,(x^{3}+x^{2}+x-3)}\,dx =\frac{1}{3}\int\frac{11x+10}{D(x)}\,dx.

Passo 5

Fatoramos o denominador: testando x=1 observa-se que D(1)=0, Logo
D(x)=(x-1)(x^{2}+2x+3).
Fazemos a decomposição
\frac{11x+10}{(x-1)(x^{2}+2x+3)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+3}.
Resolvendo os sistemas obtém-se
A=\frac{7}{6},\quad B=-\frac{7}{6},\quad C=\frac{1}{6}.

Passo 6

Assim
\frac{1}{3}\int\frac{11x+10}{D(x)}\,dx =\frac{1}{3}\Bigl[ \frac{7}{6}\int\frac{dx}{x-1} +\int\frac{-\tfrac{7}{6}x+\tfrac{1}{6}}{x^{2}+2x+3}\,dx \Bigr].
Calculamos cada termo:
  1. \int\frac{dx}{x-1}=\ln|x-1|.
  2. No segundo integral completamos quadrado em x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2.
    Definindo t=x+1,
-\frac{7}{6}x+\frac{1}{6} =-\frac{7}{6}(t-1)+\frac{1}{6} =-\frac{7}{6}t+\frac{8}{6},
e
\int\frac{-\frac{7}{6}t+\frac{8}{6}}{t^{2}+2}\,dt =-\frac{7}{6}\cdot\frac12\ln(t^{2}+2) +\frac{8}{6}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt2}\bigr).

Passo 7

Reagrupando tudo, a antiderivada fica
x +\frac23\ln\bigl|x^{3}+x^{2}+x-3\bigr| +\frac{7}{18}\ln|x-1| -\frac{7}{36}\ln\bigl(x^{2}+2x+3\bigr) +\frac{4}{3\sqrt2}\arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{\sqrt2}\Bigr) +C.
Opcionalmente, usando x^{3}+x^{2}+x-3=(x-1)(x^{2}+2x+3), pode-se combinar logs.

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} \int \frac{x^{3}+3x^{2}+6x+1}{x^{3}+x^{2}+x-3}\,dx &= x +\frac23\ln\bigl|x^{3}+x^{2}+x-3\bigr| +\frac{7}{18}\ln|x-1|\\\ &\quad -\frac{7}{36}\ln\bigl(x^{2}+2x+3\bigr) +\frac{4}{3\sqrt2}\arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{\sqrt2}\Bigr) +C. \end{aligned} }

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