Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d u}{d t}=t u^{3}\left(1+t^{2}\right)^{-1 / 2} \\\ u(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
\frac{du}{dt}=t\,u^3\,(1+t^2)^{-1/2},\quad u(0)=1.
Este é um caso de equação de primeira ordem que admite separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevendo a equação, agrupamos termos de u num lado e de t no outro:
u^{-3}\,\frac{du}{dt}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}
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u^{-3}du=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int u^{-3}du=\int\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\,dt.
No lado esquerdo,
\int u^{-3}du=-\tfrac12\,u^{-2},
e no lado direito, usando s=1+t^2 com ds=2t\,dt,
\int\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\,dt=\sqrt{1+t^2}+C.
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-\tfrac12\,u^{-2}=\sqrt{1+t^2}+C.

Passo 4

Usamos u(0)=1 para achar C. Substituindo t=0 e u=1,
-\tfrac12\cdot1^{-2}=\sqrt{1+0^2}+C \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac12=1+C \quad\Longrightarrow\quad C=-\tfrac32.
Assim,
-\tfrac12\,u^{-2}=\sqrt{1+t^2}-\tfrac32.

Passo 5

Isolando u:
u^{-2}=-2\sqrt{1+t^2}+3 \quad\Longrightarrow\quad u^2=\frac{1}{3-2\sqrt{1+t^2}}
e, como u(0)=1>0, tomamos a raiz positiva:
u(t)=\frac{1}{\sqrt{3-2\sqrt{1+t^2}}}.

Resposta

u(t)=\frac{1}{\sqrt{3-2\sqrt{1+t^2}}}.

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