Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
.
Este é um problema de EDO em forma diferencial exata ou quase exata; vamos buscar um fator integrante em função de .
Este é um problema de EDO em forma diferencial exata ou quase exata; vamos buscar um fator integrante em função de
Passo 2
Identificamos
Calculamos
Como
, não é exata. Verificamos
que depende só de
. Logo existe um fator integrante
.
Passo 3
O fator integrante satisfaz
Integramos em
: com
,
,
portanto
Passo 4
Multiplicamos a equação por
:
Agora definimos
e confirmamos
, logo é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos em
, tratando
como constante:
Com
,
, isso dá
Passo 6
Impondo
:
logo
e
é constante.
Passo 7
A solução implícita é
ou seja
Passo 8
Usamos a condição
. Quando
,
e
, logo
Passo 9
Assim a relação é
Daí a solução explícita é