Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}3 e^{x} \operatorname{tg} y d x+\left(1-e^{x}\right) \operatorname{sec} ^{2} y d y=0 \\\ y(\ln 2)=\frac{\pi}{4}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3e^{x}\tan y\,dx+(1-e^{x})\operatorname{sec}^{2}y\,dy=0
com condição inicial y(\ln 2)=\pi/4.
Este é um problema de EDO em forma diferencial exata ou quase exata; vamos buscar um fator integrante em função de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=3e^{x}\tan y, \qquad N(x,y)=(1-e^{x})\operatorname{sec}^{2}y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =3e^{x}\operatorname{sec}^{2}y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =-e^{x}\operatorname{sec}^{2}y.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, não é exata. Verificamos
\frac{M_{y}-N_{x}}{N} =\frac{3e^{x}\operatorname{sec}^{2}y-(-e^{x}\operatorname{sec}^{2}y)}{(1-e^{x})\operatorname{sec}^{2}y} =\frac{4e^{x}}{1-e^{x}},
que depende só de x. Logo existe um fator integrante \mu(x).

Passo 3

O fator integrante satisfaz
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} =\frac{4e^{x}}{1-e^{x}}.
Integramos em x: com u=1-e^{x}, du=-e^{x}dx,
\int\frac{\mu'}{\mu}dx =\int\frac{4e^{x}}{1-e^{x}}dx =-4\int\frac{du}{u} =-4\ln|1-e^{x}|
portanto
\mu(x)=(1-e^{x})^{-4}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x):
3e^{x}\tan y\,(1-e^{x})^{-4}dx +(1-e^{x})^{-3}\operatorname{sec}^{2}y\,dy=0.
Agora definimos
\widetilde M=3e^{x}\tan y\,(1-e^{x})^{-4}, \qquad \widetilde N=(1-e^{x})^{-3}\operatorname{sec}^{2}y
e confirmamos \partial\widetilde M/\partial y=\partial\widetilde N/\partial x, logo é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\Phi_{x}=\widetilde M.
Integramos em x, tratando \tan y como constante:
\Phi(x,y) =\int3\tan y\,\frac{e^{x}}{(1-e^{x})^{4}}\,dx =\tan y\int3\frac{e^{x}}{(1-e^{x})^{4}}dx.
Com u=1-e^{x}, e^{x}dx=-du, isso dá
\Phi(x,y) =-3\tan y\int u^{-4}du =\tan y\,u^{-3}+C(y) =\frac{\tan y}{(1-e^{x})^{3}}+C(y).

Passo 6

Impondo \Phi_{y}=\widetilde N:
\Phi_{y} =\frac{\operatorname{sec}^{2}y}{(1-e^{x})^{3}}+C'(y) \overset{!}{=} \frac{\operatorname{sec}^{2}y}{(1-e^{x})^{3}},
logo C'(y)=0 e C é constante.

Passo 7

A solução implícita é
\Phi(x,y)=\frac{\tan y}{(1-e^{x})^{3}}=K,
ou seja
(1-e^{x})^{3}\tan y=K.

Passo 8

Usamos a condição y(\ln2)=\pi/4. Quando x=\ln2, e^{x}=2 e \tan y=\tan(\pi/4)=1, logo
(1-2)^{3}\cdot1=K\implies K=(-1)^{3}=-1.

Passo 9

Assim a relação é
(1-e^{x})^{3}\tan y=-1 \quad\Longrightarrow\quad \tan y=\frac{-1}{(1-e^{x})^{3}} =\frac{1}{(e^{x}-1)^{3}}.
Daí a solução explícita é
y(x) =\arctan\!\bigl[(e^{x}-1)^{-3}\bigr].

Resposta

y(x)=\arctan\!\bigl[(e^{x}-1)^{-3}\bigr].

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